5- Couplage de deux circuits LC

Lorsqu’on met en présence deux circuits LC ayant la même fréquence de résonance , il se produit un phénomène particulier : l’énergie qui circule dans le premier circuit aura facilement tendance à atteindre le deuxième circuit. C’est le phénomène de couplage.

Par exemple, considérons deux circuits identiques ayant chacun un Q = 100 . Considérons le flux magnétique issu de la self du premier circuit . Si 1% seulement de ce flux entre dans la self du deuxième circuit, on s’apercevra que  l’énergie du premier circuit passera dans le deuxième !

On utilise souvent  des circuits couplés pour former des filtres . Alors qu’un seul circuit LC présente une réponse du second ordre, deux circuits convenablement couplés permettront la réalisation de filtres plus « abrupts » , c'est-à-dire avec une réponse plate dans une bande désirée, et une atténuation plus importante en dehors de la bande passante.



La courbe de réponse du filtre passe bande constitué de deux circuits couplés accordés sur la même fréquence ressemble à ce que donne la figure50. On voit que la forme de la réponse dépend du couplage.

Si deux circuits sont faiblement couplés, la courbe de réponse sera étroite, mais toute l’énergie du premier circuit n’arrivera pas au second ( courbe orange) .

En augmentant le couplage, on atteint le « couplage critique » : toute l’énergie passe, avec une bande passante minimale. ( courbe rouge)

Si on continue d’augmenter le couplage, le sommet de la courbe de réponse s’aplatit ( courbe bleue), on a un filtre de Butterworth d'ordre 4, puisque chaque circuit LC est d'ordre 2.

Puis, si on augmentait  encore le couplage, un creux apparaît au centre le la courbe de réponse.( non représenté sur la figure) 

Si on augmente le couplage en augmentant la capacité en tête ou  en augmentant la self en pied,( voir plus bas)   la courbe s'étendra vers les fréquences basses. 

FIG50

Facteur de forme:

Les systèmes de radiocommunications exigent très souvent une réponse "plate" dans une bande passante donnée, on définit ainsi une bande passante à -3dB.  Mais ces systèmes exigent aussi un maximum d'atténuation en dehors de cette bande.  On peut par exemple définir la bande en dehors de laquelle l'atténuation est supérieure à 20 dB .

On peut chiffrer la façon dont un filtre atténue  les fréquences en dehors de sa bande passante , par le "facteur de forme" :

Un filtre composé d'un circuit LC unique est un filtre du second ordre. Le rapport entre la bande à -20 dB et la bande à -3dB est de 3. Le facteur de forme à -3dB/-20 dB est 3.

Pour un filtre composé de deux circuits LC couplés, à réponse "plate" ( filtre Butterworth d'ordre 4), le facteur de forme à -3dB/-20 dB est de 1,8.  

Si on désire des filtres encore plus performants, il sera nécessaire d'augmenter l'ordre du filtre, donc de multiplier le nombre de circuits LC. Le réseau deviendra alors plus complexe.

(Notons que pour les systèmes numériques, le filtrage du signal modulé ne nécessite pas forcément une bande passante plate, le temps de propagation des différentes fréquences dans la bande est plus critique. Nous n'aurons plus des filtres de Butterworth, mais des filtres de Bessel ou des filtres gaussiens, par exemple.) 

Comment coupler deux circuits ?

La figure ci-dessous montre les 3 façons les plus courantes pour coupler deux circuits : : couplage par le flux magnétique, le couplage par capacité en tête, le couplage par self en pied . 

FIG51

Couplage critique 

Il est intéressant de connaître les règles qui permettent le couplage critique:

couplage par flux : il faut que le flux qui entre dans la bobine du deuxième circuit soit 1/Q fois le flux total de la première bobine.

Couplage par capacité en tête : la capacité de couplage Cc est égale à C/ Q. ( c'est donc une capacité relativement petite) 

Couplage par self en pied : la self commune est égale à L/Q .( donc une self relativement petite) 

Les couplages parasites;

Le couplage entre deux circuits n’est pas toujours un phénomène désiré. Lorsque plusieurs circuits résonants sont à proximité l'un de l'autre, leur couplage va entraîner parfois de gros problèmes.  Par exemple, si le circuit en sortie d’un amplificateur réinjecte de l’énergie sur le circuit d’entrée, l’amplificateur pourra entrer en oscillation. On a vu que le couplage se fera d’autant plus que les Q sont élevés…

On peut réduire le couplage entre deux circuits LC:

  • - En évitant que le flux d’une self n’entre dans le flux de l’autre: Si les selfs sont proches, on croisera leurs axes .
  • -En évitant que les points haute impédance ( points chauds) de chacun ne soient proches. En effet, si le Q est élevé, la moindre capacité entre ces points sera responsable d'un couplage.
  • -En évitant que les courants qui circulent dans chaque circuit  aient un chemin commun sur la carte: On évitera d'éloigner la masse de la self de la masse du condensateur de chaque circuit LC. 

Lorsque c’est nécessaire, on pourra enfermer les circuits dans un blindage, ce qui élimine les couplages.

Le blindage élimine aussi le couplage par chemin commun dans la masse, car les courants de masse ne circulent qu'à la surface intérieure du blindage. On pourra alors placer les blindages en contact entre eux sans qu'il y ait couplage. 

Mais attention, le fait de mettre un blindage autour d’une self , s'il est très près de la self, réduira  légèrement la  valeur de l'inductance …

Question : Y a-t-il d’autres couplages possibles ?

Oui, bien sur. Par exemple, on peut inverser L et C dans le couplage « self en pied » de façon que ce soient les capacités qui aboutissent à la self commune de couplage.

Ce qui n’est pas conseillé : Remplacer la self en pied de couplage par une « capacité en pied ». Comme l’élément de couplage en pied présente une faible impédance, il faudra alors placer une capacité importante. Mais cela peut poser un problème, une capacité de forte valeur risque de résonner avec la self constituée par sa piste de mise à la masse et présenter une impédance nulle…

Si le circuit LC est composé d’une ligne, plutôt que d’une self et d’une inductance, on peut coupler deux lignes parallèles en les positionnant à une certaine distance l’une de l’autre. Il y aura à la fois couplage magnétique ( champ H) et couplage électrique ( champ E). Mais ces deux couplages se contrarient ou se renforcent suivant le sens d’une ligne par rapport à l’autre…

Un exemple de filtre avec deux circuits couplés.

Cet exemple montre la marche à suivre lors d'une simulation. Les résultats sont approchés, et la simulation permettra d'affiner les valeurs.

On se propose de construire un filtre passe bande centré sur Fo= 156 MHz , à l’aide de deux circuits LC couplés. On veut une bande passante plate de 8 MHz environ. L’entrée et la sortie seront en 50 Ohms.

La limite haute de la bande passante sera donc de 160 MHz. C'est cette fréquence qui va nous servir pour calculer les composants L et C des deux circuits AVANT couplage 


FIG52

Oublions pour l'instant  le couplage, et définissons tout d’abord les impédances des selfs et capacités d’accord des deux circuits LC symétriques.

En général, c’est un paramètre qu’on peut choisir. L’expérience pousse à choisir ces impédances ZL et Zc de l’ordre de la centaine d’ohms. Si on choisit des impédances trop faibles ( la dizaine d’ohms) , on perdra en qualité du circuit LC ( dégradation du coefficient Qo) ...Si on choisit des impédances trop grandes ( le millier d’ohms), on se heurtera à des problèmes de capacités parasites qui deviendront du même ordre que les capacités d’accord désirées.

Choisissons donc ZL = Zc = 100 ohms.

A 160 MHz, le calcul donne une self de 100 nH et une capacité de 10 pF. Nous supposerons que ces composants ont des pertes négligeables. Ce qui signifie que le Q sera donné uniquement par les charges.( Qo infini) 

Définissons le Q des deux circuits symétriques. On choisira la bande passante de chaque circuit égale à 8 MHz, ce qui, par expérience, nous donnera aussi une bande passante de 8 MHz (mais plate) pour l’ensemble des deux circuits couplés.

Q= Fo/ Bande passante  = 160 /8 = 20 .

Nous en déduisons la résistance fictive R au "point chaud" de chaque circuit :

R = Q . Z = 20 . 100         donc R = 2000 ohms.


Décidons du type de transformateur d’impédance nous utiliserons,pour passer de            R = 2000 ohms à 50 ohms.

Le pont capacitif ? C'est possible. Mais cela entraînerait que le chemin qui va de l’entrée jusqu’à la sortie du filtre ne passe que par des condensateurs, ce qui n’assurerait pas une très grande réjection de fréquences au dessus de la bande passante.

Nous avons choisi sur le schéma de départ  le pont inductif.

La self d’accord est Ltotale = L1 + L2 = 100 nH ( ce qu'on vient de voir) 

On veut transformer en 50 ohms la résistance au point chaud R = 2000 ohms

Le rapport de transformation est donc de 2000/50 = 40

Le rapport des selfs   Ltotale / L2 est donc racine de 40 = 6,3.

La self L2 fera 100nH / 6,3 donc L2 = 16 nH

La self L1 fera 100nH – 16 nH donc L1 = 84 nH.


Décidons maintenant du type de couplage.

Les deux couplages les plus courants sont le couplage par une petite self en pied et le couplage par une petite capacité en tête . Ces deux couplages permettent une mise au point facile, car ils ont une particularité: la fréquence de résonance de chacun des deux circuits AVANT couplage est égale à la limite haute de la bande passante.

Nous choisissons le couplage par capacité en tête :

Connaissant le Q des circuits et les capacités d’accord , nous en déduisons la capacité de couplage en tête qui donnera le couplage critique Cc = C /Q = 10pF /20 donc Cc = 0,5 pF.

Elargissons maintenant la bande passante :

Cette capacité de couplage correspond au  couplage critique ( courbe rouge) . Pour avoir une bande passante plate, ( courbe bleue, filtre de Butterworth)) on devra augmenter de 50 % la capacité de couplage, ce qui nous donne Cc = 0,75 pF.

La figure ci-dessous montre les différentes réponses du filtre:

- courbe orange ;circuits sous-couplés

- courbe rouge : couplage critique 

- courbe bleue : bande passante plate par sur-couplage.

FIG50

Maintenant vérifions  ci-contre ce que donne une simulation  du circuit avec la bande passante plate que nous venons de définir: c'est le graphe de Bode ci-contre . Bien que nous ayons utilisé des formules approchées, on voit que  le logiciel de simulation  donne un résultat très proche. 

reponse flt160

Ajustage fin

Bien sur, ces calculs théoriques ne tiennent pas compte des éléments parasites : capacité parasite des selfs, inductances parasites des capacités, pertes propres des selfs…toutes choses donc il conviendra de parler plus loin…

Réglages sur le filtre ainsi réalisé :

Les éléments parasites vont faire que notre filtre réalisé  n’aura pas tout à fait la réponse escomptée

Notamment, nous aurons probablement une décalage vers les fréquences basses, du fait que nous n’avons pas tenu compte des capacités parasites et des inductances parasites des pistes…Un ajustage plus fin est donc nécessaire.

En premier lieu, il faut trouver les accords exacts de chacun de deux circuits LC. 

La méthode la plus simple est la suivante :

On réduit provisoirement  la capacité de couplage Cc de façon à être en dessous du couplage critique.

Par exemple, Cc = 0, 25 pF

De cette façon, l'accord de chacun des deux circuits n'influence pas l'autre, et correspondra à la limite haute de la bande passante de l'ensemble couplé.

On règle donc  les capacités d’accord de chacun des circuits pour obtenir le maximum de réponse sur la fréquence la plus haute de la bande passante désirée : Si nous voulons une bande de 8 MHz,  centrée sur 156 MHz, on règlera les deux capacités d’accord pour un maximum vers le haut de la bande passante, à 160 MHz. On applique donc sur l’entrée un signal de 160 MHz, et cherche à obtenir le maximum en sortie du filtre en ajustant finement les deux capacités d'accord de chaque circuit. La réponse est très    « pointue » , puisque nous ne sommes en dessous du  couplage critique…( courbe orange)

Ce résultat obtenu, on augmente progressivement la valeur de Cc. Comme nous n’étions pas encore au couplage critique, le niveau en sortie va augmenter jusqu'au couplage critique ( courbe rouge) …

Puis, en augmentant encore un peu Cc, on va constater que le niveau n’augmente plus, et que la courbe de réponse du filtre s’étale vers les fréquences basses, en restant plate …Ce comportement est un des avantages du couplage par capacité en tête… Avec la capacité Cc calculée de 0,75PF la bande passante doit s’étaler jusqu’à 152 MHz.( courbe bleue)

Notons que si on augmentait encore Cc,  la bande continuerait de s’étaler vers le bas, mais un creux apparaîtrait en son centre.

Questions diverses 

Question 1 : comment évaluer les pertes de transmission d’un tel filtre ?

Nous avons vu que le coefficient de surtension Q d’un circuit LC est déterminé par deux causes d’amortissement : Les pertes propres du circuit, et l’amortissement par les charges connectées sur ce circuit. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons supposé les composants parfaits, donc sans pertes : Qo infini .

Mais en pratique, le Qo n'est jamais infini, on peut représenter les pertes propres du circuit par une résistance de perte Ro en parallèle sur le circuit LC d'autant plus grande que Qo est grand.  

L'amortissement du aux charges  se représente par une autres résistance R, en parallèle sur Ro.

Si Ro est très grand devant R, les pertes propres, dissipées par Ro, seront négligeables . Par contre, si par exemple Ro = R, alors la moitié de l’énergie injectée sur le circuit sera dissipée et manquera en sortie, et on aura une perte de 3dB pour chaque circuit.

Donc,  un filtre  présentera toujours plus ou moins de  pertes dans la bande qu’il devrait passer. Pour minimiser ces pertes, il faudra que Ro soit grand devant R.

  • -

Question 2 : Le filtre ne transmet pas , ou peu, les signaux hors de sa bande passante. Où donc passe l’énergie de ces signaux ?

Si l’énergie n’apparaît pas en sortie, et si le circuit lui-même ne dissipe pas l’énergie, alors cette l’énergie ne « rentre » pas dans le filtre. Celui-ci ne présente pas une impédance correcte pour le générateur qui applique les signaux à l’entrée. On dit qu’il y a « réflexion » des signaux sur l’entrée du filtre. On peut d’ailleurs régler un filtre en s’assurant que l’énergie qui lui est appliquée est bien absorbée par le filtre , dans la bande passante désirée. Il faut pour cela régler le filtre à l’aide d’un réflectomètre….

Question 3: L'ajustage fin est -il toujours nécessaire?

si un filtre LC est très étroit, il est peu probable que les calculs ou la simulation donnent directement le schéma définitif. Ne serait-ce que du fait de l'imprécision des valeurs des composants...

Par contre, si les modèles sont corrects et prennent en compte tous les éléments parasites, il est possible de trouver directement les valeurs d'un réseau LC, si la bande passante est suffisamment large. Il faudra alors faire les calculs d'incertitudes en tenant compte de la précision de chaque composant.

Question 4: Si je veux une plus grande réjection hors bande ?

Le "facteur de forme" définit le rapport entre la bande passante à -3dB et la bande passante pour  une plus grande réjection. C'est "l'ordre " du filtre qui va jouer sur ce facteur de forme. Ainsi, le filtre que nous avons pris pour exemple est un butterworth d'ordre 4 ( s'il est plat) , qui pourra donner un certain facteur de forme. Si ce n'est pas suffisant, il faudra  placer plus de deux circuits couplés....

Question 5 : Peut-on placer plusieurs filtres l'un derrière l'autre pour obtenir de meilleurs facteurs de forme ?

Attention, les courbe ne se "multiplient pas ou ne s'ajoutent pas" nécessairement... Si sur une fréquence l'atténuation de chaque filtre est de 20 dB, le résultat ne sera pas forcément  40 dB si je place les deux filtres en série . En effet, l'atténuation d'un filtre est obtenue par une désadaptation...Pour comprendre ce qui se passe, supposons par exemple que la sortie du premier filtre soit une impédance  R -JX...  Si par hasard, l'entrée du filtre suivant est  R +jX, la désadaptation disparaît, et l'atténuation désirée aussi...

Pour que les courbes atténuations de deux filtres quelconques s'additionnent, on peut  séparer les deux filtres par un amplificateur, de façon que les filtres ne se "voient" pas....

On peut aussi trouver un réseau d'ordre plus élevé, par simulation Par exemple, il est assez facile de créer sous 50 ohms un filtre passe bas d'ordre élevé,  constitué de plusieurs cellules LC en pi identiques, tel celui ci-dessous. Tous les condensateurs ont une réactance de -j50 ohms et toutes les selfs ont une réactance de +j50 ohms.  Plus on augmente le nombre de cellules, plus la forme devient "carrée" :  bande passante plate, et chute de plus en plus rapide hors de la bande. Un tel filtre est utilisable pour supprimer les harmoniques d'un émetteur....

FIG128