5- Couplage de deux circuits LC Résonants

Lorsqu’on met en présence deux circuits LC ayant la même fréquence de résonance , il se produit un phénomène particulier : l’énergie qui circule dans le premier circuit aura facilement tendance à atteindre le deuxième circuit. C’est le phénomène de couplage.

Par exemple, considérons deux circuits identiques ayant chacun un Q = 100 . Considérons le flux magnétique issu de la self du premier circuit . Si 1% seulement de ce flux entre dans la self du deuxième circuit, on s’apercevra que toute  l’énergie du premier circuit passera dans le deuxième !

En radio-électricité, ce qui nous intéresse ici, on utilise souvent  des circuits couplés pour former des filtres . Alors qu’un seul circuit LC présente une réponse du second ordre, deux circuits convenablement couplés permettront la réalisation de filtres plus « abrupts » , c'est-à-dire avec une réponse plate dans une bande désirée, et une atténuation plus importante en dehors de la bande passante.



La courbe de réponse du filtre passe bande constitué de deux circuits identiques couplés accordés sur la même fréquence ressemble à ce que donne la figure ci-dessous. On voit que la forme de la réponse dépend du couplage.

Si les deux circuits sont faiblement couplés, la courbe de réponse sera étroite, mais toute l’énergie du premier circuit n’arrivera pas au second ( courbe orange) .

En augmentant le couplage, on atteint le « couplage critique » : toute l’énergie passe, on atteint un transfert maximum . (courbe rouge)

Si on continue d’augmenter le couplage, le sommet de la courbe de réponse s’élargit, ( courbe bleue, avec une ondulation inférieure à 1 dB,...

Puis, si on augmentait  encore le couplage, un creux de plus en plus profond apparaît au centre de la courbe de réponse.( non représenté sur la figure) 

FIG50

Facteur de forme:

Les systèmes de radiocommunications exigent très souvent une réponse "plate" dans une bande passante donnée, on définit ainsi une bande passante à -3dB.  Mais ces systèmes exigent aussi un maximum d'atténuation en dehors de cette bande.  On peut par exemple définir la bande en dehors de laquelle l'atténuation est supérieure à 20 dB .

On peut chiffrer la façon dont un filtre atténue  les fréquences en dehors de sa bande passante , par le "facteur de forme" :

Un filtre composé d'un circuit LC unique est un filtre du second ordre. Le rapport entre la bande à -20 dB et la bande à -3dB est de l'ordre de 10. On dit que le  Le facteur de forme à -3dB/-20 dB est 10.

Pour un filtre composé de deux circuits LC couplés, à réponse "plate" ( filtre Butterworth) , le facteur de forme à -3dB/-20 dB est de 3 environ.  

Si on désire des filtres encore plus performants, il sera nécessaire d'augmenter l'ordre du filtre, donc de multiplier le nombre de circuits LC. Le réseau deviendra alors plus complexe.

(Notons que pour les systèmes numériques, le filtrage du signal modulé ne nécessite pas forcément une bande passante plate, le temps de propagation des différentes fréquences dans la bande est plus critique. Nous n'aurons plus des filtres de Butterworth, mais des filtres de Bessel ou des filtres gaussiens, par exemple.) 

Comment coupler deux circuits ?

La figure ci-dessous montre les 3 façons les plus courantes pour coupler deux circuits : : couplage par le flux magnétique, le couplage par capacité en tête, le couplage par self en pied . 

FIG51

Couplage critique:

C'est le couplage qui permet un transfert maximum d'énergie d'un circuit à l'autre, avec une bande passante à un seul sommet. 

Il est intéressant de connaître les règles qui permettent le couplage critique:

couplage par flux : il faut que le flux qui entre dans la bobine du deuxième circuit soit 1/Q fois le flux total de la première bobine.

Couplage par capacité en tête : la capacité de couplage Cc est égale à C/ Q. ( c'est donc une capacité relativement petite) 

Couplage par self en pied : la self commune est égale à L/Q .( donc une self relativement petite) 

Surcouplage : 

Nous avons vu que si on augmente le couplage au dlà du couplage critique, la courbe va s'élargir, et si on augmente encore,  un creux  va se former au milieu de la courbe de réponse.

 Remarquons que si on augmente le couplage en augmentant la capacité en tête ou en augmentant la self en pied, ( voir plus haut les types de couplages) la courbe s'étendra , vers les fréquences basses.

Question : Y a-t-il d’autres couplages possibles ?

Oui, bien sur. Par exemple, on peut inverser L et C dans le couplage « self en pied » de façon que ce soient les capacités qui aboutissent à la self commune de couplage. 

On peut aussi remplacer la "self en pied" de couplage par une « capacité en pied ». Mais attention, si  cet élément de couplage en pied doit présenter une faible impédance, il faudra  placer une capacité importante. Cela peut poser un problème en UHF, l'impédance faible de la capacité sera modifiée par la self constituée par sa piste de mise à la masse…

Si les résonateurs sont  composés d’une ligne résonante , plutôt que d’une self et d’une inductance, on peut coupler deux lignes parallèles en les positionnant à une certaine distance l’une de l’autre. Il y aura à la fois couplage magnétique ( champ H) et couplage électrique ( champ E). Mais ces deux couplages se contrarient ou se renforcent suivant le sens d’une ligne par rapport à l’autre…Voir le chapitre sur les lignes de transmission.

Un exemple de filtre avec deux circuits couplés.

Cet exemple montre la marche à suivre lors d'une simulation. Les résultats sont approchés, et la simulation permettra d'affiner les valeurs.

On se propose de construire un filtre passe bande centré sur Fo= 156 MHz , à l’aide de deux circuits LC couplés. On veut une bande passante de 8 MHz environ. L’entrée et la sortie seront en 50 Ohms.

La limite haute de la bande passante sera donc de 160 MHz. C'est cette fréquence qui va nous servir pour calculer les composants L et C des deux circuits AVANT couplage 


FIG52

Oublions pour l'instant  le couplage, et définissons tout d’abord les impédances des selfs et capacités d’accord des deux circuits LC identiques.

En général, c’est un paramètre qu’on peut choisir. L’expérience pousse à choisir ces impédances ZL et Zc de l’ordre de la centaine d’ohms. Si on choisit des impédances trop faibles ( la dizaine d’ohms) , on perdra en qualité du circuit LC ( dégradation du coefficient Qo) ...Si on choisit des impédances trop grandes ( le millier d’ohms), on se heurtera à des problèmes de capacités parasites qui deviendront du même ordre que les capacités d’accord désirées.

Choisissons donc ZL = Zc = 100 ohms.

A 160 MHz, le calcul donne une self de 100 nH et une capacité de 10 pF. Nous supposerons que ces composants ont des pertes négligeables ( Qo infini) . Ce qui signifie que le Q sera donné uniquement par les charges.

Définissons le Q de ces  deux circuits symétriques. On choisira la bande passante ( à -3dB)  de chaque circuit égale à 8 MHz, ce qui, par expérience, nous donnera aussi une bande passante de 8 MHz (mais plate) quand  les deux circuits seront couplés.

Q = Fo/ Bande passante  = 160 /8 = 20 .

Nous en déduisons la résistance fictive R au "point chaud" de chaque circuit :

R = Q . Z = 20 . 100         donc R = 2000 ohms.

( si vous ne suivez pas, revenez au chapitre 2, le circuit LC) 

Décidons du type de transformateur d’impédance nous utiliserons, pour passer de            R = 2000 ohms au sommet , à 50 ohms sur la prise intermédiaire.

Le pont capacitif ? C'est possible. Mais cela entraînerait que le chemin qui va de l’entrée jusqu’à la sortie du filtre ne passe que par des condensateurs, ce qui n’assurerait pas une très grande réjection de fréquences au dessus de la bande passante.

Nous avons choisi sur le schéma de départ  le pont inductif.

La self d’accord est Ltotale = L1 + L2 = 100 nH ( ce qu'on vient de voir) 

On veut transformer en 50 ohms la résistance au point chaud R = 2000 ohms

Le rapport de transformation est donc de 2000/50 = 40

Le rapport des selfs :   Ltotale / L2 est donc racine de 40 = 6,3.

La self L2 fera 100nH / 6,3 donc L2 = 16 nH

La self L1 fera 100nH – 16 nH donc L1 = 84 nH.


Décidons maintenant du type de couplage.

Les deux couplages les plus courants sont le couplage par une petite self en pied et le couplage par une petite capacité en tête . Ces deux couplages permettent une mise au point facile, car ils ont une particularité: la fréquence de résonance de chacun des deux circuits AVANT couplage est égale à la limite haute de la bande passante.

Nous choisissons le couplage par capacité en tête :

Connaissant le Q des circuits et les capacités d’accord , nous en déduisons la capacité de couplage en tête qui donnera le couplage critique Cc = C /Q = 10pF /20 donc Cc = 0,5 pF.

Ci contre, la réponse en fréquence avec cette   capacité de couplage est de 0,5 pF, on a le couplage critique ( niveau maximum mais un seul sommet) 

(On voit que la capacité de couplage a légèrement décalé la fréquence vers le bas )

BOODEFLT160_2

Ajustage fin des valeurs

Bien sur, ces calculs théoriques ne tiennent pas compte des éléments parasites : capacité parasite des selfs, inductances parasites des capacités, pertes propres des selfs…toutes choses donc il conviendra de parler plus loin…

Les éléments parasites vont faire que les composants L et C ne seront pas tout à fait ceux calculés

Notamment, les composants définitifs self et condensateur, seront un peu inférieurs en valeur, du fait que nous n’avons pas tenu compte des capacités parasites et des inductances parasites des pistes… 

D'où la nécessité d'une mise au point pratique...

En premier lieu, il faut trouver les accords exacts et précis de chacun des deux circuits LC. 

La méthode la plus simple est la suivante :

On réduit provisoirement la capacité de couplage Cc de façon à être en dessous du couplage critique.

Par exemple, Cc = 0, 1 pF

De cette façon, l'accord de chacun des deux circuits n'influence pas l'autre, il  correspondra à la limite haute de la bande passante de l'ensemble couplé.

On règle donc les capacités d’accord de chacun des circuits pour obtenir le maximum de réponse sur la fréquence la plus haute de la bande passante désirée : Si nous voulons une bande de 8 MHz, centrée sur 156 MHz, on règlera les deux capacités d’accord pour un maximum vers le haut de la bande passante, donc à 160 MHz. On applique donc sur l’entrée un signal de 160 MHz, et cherche à obtenir le maximum en sortie du filtre en ajustant finement les deux capacités d'accord de chaque circuit. La réponse est très « pointue » , puisque, avec Cc = 0,1 pF,  nous ne sommes en dessous du couplage critique…

BOODE FLT160_1

Ce résultat obtenu, on augmente progressivement la valeur de Cc. Comme nous n’étions pas encore au couplage critique, le niveau en sortie va augmenter jusqu'au couplage critique  pour Cc = 0.5 pF…Figure ci-contre. 

BOODEFLT160_2

Puis, en augmentant encore un peu Cc, on va constater que le niveau n’augmente plus, et que la courbe de réponse du filtre s’étale vers les fréquences basses, …Ce comportement est un des avantages du couplage par capacité en tête… Avec la capacité Cc calculée de 0,75PF la bande passante doit s’étaler jusqu’à 152 MHz.

Notons que si on augmentait encore Cc,  la bande continuerait de s’étaler vers le bas, mais le  creux de plus en plus prononcé apparaîtrait au centre.

BOODEFLT160_3

Et si on faisait un couplage par self en pied ?

On a vu que pour des Q élevés, la capacité de couplage est très petite...Elle le sera encore plus un UHF ou au delà... Ce qui peut poser des problèmes, il est difficile d'avoir des composants d'une fraction de pF !  On peut jouer sur la proximité de deux aplats de cuivre....

Une autre solution, c'est de coupler par une self en pied, de faible valeur....Des valeurs de selfs de l'ordre du nH sont envisageables, et même moins...il s'agit simplement d'une piste très courte ...( en uHF, elle sera de l'ordre du mm, et en tenant compte de l'impédance du via de masse....)

Choisissons encore une fréquence 160 MHz, 

un Q de 20,  et des selfs d'accord L 1 =L2 =  100 nH.

L'impédance des selfs d'accord est toujours  100 ohms, la résistance au point chaud est

R = 100 ohms x Q = 100ohms x20 = 2000 ohms , 

On aura le couplage critique lorsque la self de couplage  sera L3 = L /Q = 100nH/20 = 5 nH.

FLT 160 coupl self

Maintenant, il faut présenter au générateur et à la charge des résistances de 50 ohms:

on peut utiliser un  transformateur par capa en tête

( schéma ci-dessus) .

 Comme le condensateur d'accord  peut être ajustable, ceci aura pour avantage de conserver une masse pour ce condensateur...

Il reste à calculer les capacité d'adaptation C3 et C4, pour transformer en 50 ohms la résistance de 2000hms du point chaud .

Si vous avez lu le chapitre 2 : 

Leur impédance Z est telle que carré de Z = ( résistance au point chaud) x R1 = 2000 x 50 

d'où Z = 316 ohms    --->  on prendra C3 = C4 =  3,2 pF  ( en pratique: 3,3pF ...) 

On obtient ainsi la courbe de réponse au couplage critique....Cette self de couplage L3 a déjà pour effet de décaler un peu la courbe vers les fréquences basses.

Si on augmentait la self de couplage, la bande passante s'étalerait vers les fréquences basses... 

Boode flt coupl self

Et si on remplaçait la self de couplage en pied  par un condensateur en pied ? 

C'est  possible, il faudra  un condensateur de valeur assez grande . son impédance devra être Zself/ Q  , soit dans l'exemple ci-dessus, pour le couplage critique,  100 /20 = 5 ohms. D'où une capacité de 200 pF, dans notre exemple. 

En VHF (160 MHz  )un condensateur de  200 pF, c'est possible. Mais en UHF, se posera le problème de la self série d'un condensateur d'impédance aussi faible....Lisez le chapitre 6 sur le condensateur réel.

Notons enfin que pour un couplage par condensateur en pied, la bande passante s'étale vers le haut quand on augmente le couplage ( c'est à dire quand on diminue ce condensateur de couplage) .

Et le couplage par flux ?

Parfois utilisé en plaçant deux circuits LC dans le même blindage. ( filtres en "hélice" par exemple).  Il est peu utilisé sur les cartes de conception professionnelle, car son modèle exige une description 3 D. 

Et avec trois circuits résonants ?

Il est possible de multiplier les circuits pour avoir un meilleur facteur de forme. 

Par exemple, voyons comment faire avec trois circuits LC résonants, avec  le schéma ci-dessous...On a conservé le couplage par capa en tête , et les valeurs :

Fo= 160 MHz, 

C accord = 10 pF ( Zc = 100 ohms) 

 L accord =  100 nH 

et Q = 20, 

Cette fois, on a choisi ( pour changer un peu...)  le générateur et la charge de résistance R de 2000 ohms. Ils sont donc  connectés directement aux points chauds des circuits, sans faire de transformateur d'impédance.. 

Le Qc des circuits  d'entrée et de sortie ainsi chargés est donc bien 

Qc = R /Zc = 2000 /100 = 20

Un  couplage critique sera obtenu avec les capacités de couplage:

Cc = C3 = C4 = Caccord/2Q = 10pF/40 = 0.25 pF

On  remarquera que pour obtenir la capa d'accord du circuit central, il faut retrancher la valeur de la capa de couplage: C2 = 10pF - 0,25 pF = 9,75 pF.

FLT160 3circuits

La mise au point se fera en choisissant un  couplage critique pour réaliser le réglage fin.

( ici Cc= 0,25 pF) .

On constate que le facteur de forme est bien meilleur qu'avec deux circuits, l'atténuation hors bande croissant plus vite....

Là aussi, les capas de couplage produisent un léger glissement vers les fréquences basses. 

BOOde FLT160  3circ

Remarque: Peut-on parler ici de "couplage critique?   La notion de couplage critique n'est pas la même qu'avec un réseau à deux circuits. Si le circuit central n'a pas de pertes, il existe une infinité de couplages critiques, en réduisant C4 et C5. En pratique, ce sont les pertes ( donc Qo) du circuit central qui limitent la sélectivité que l'on peut obtenir d'un tel réseau...

Quelques questions....

Question 1 : Comment régler le filtre si on n'a pas accès à sa sortie ? 

Jusqu'ici, nous avons supposé qu'on injectait un signal sur l'entrée et qu'on analysait ce qui sortait. Mais si la sortie du filtre est inaccessible, par exemple connectée à un étage amplificateur à transistor ?...

 Pour les fréquences "coupées"  par le filtre ,  l’énergie n’apparaît pas en sortie...  si le circuit lui-même ne dissipe pas ( ou peu)  l’énergie...Alors, si  cette l’énergie ne « rentre » pas dans le filtre, elle ressort par son entrée.  . On dit qu’il y a « réflexion » des signaux sur l’entrée du filtre. 

Il faut pour cela régler le filtre à l’aide d’un réflectomètre….On  règle le  filtre  de manière  que l’énergie qui lui est appliquée dans sa bande passante soit  bien absorbée par le filtre.  De la bande de fréquence réfléchie, on peut déduire la bande transmise.  

Par exemple, pour un filtre sans pertes dissipatives, une puissance réfléchie de -3 dB indique une puissance transmise à -3dB. ( la moitié transmise, la moitié réfléchie..)

Attention, toutefois, cette méthode est peu précise si le filtre présente des pertes propres non négligeables. ....

Capture

Question 2 : comment évaluer les pertes de transmission d’un tel filtre ?

Nous avons vu au "chapitre 2"  que le coefficient de surtension Q d’un circuit LC est déterminé par deux causes d’amortissement : Les pertes propres du circuit, et l’amortissement par les charges connectées sur ce circuit. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons supposé les composants parfaits, donc sans pertes : Qo infini .

Mais en pratique, le Qo n'est jamais infini, on peut représenter les pertes propres du circuit par une résistance de perte Ro en parallèle sur le circuit LC d'autant plus grande que Qo est grand.  

L'amortissement du aux charges  se représente par une autres résistance R, en parallèle sur Ro.

Si Ro est très grand devant R, les pertes propres, dissipées par Ro, seront négligeables . Par contre, si par exemple Ro = R, alors la moitié de l’énergie injectée sur le circuit sera dissipée et manquera en sortie, et on aura une perte de 3dB pour chaque circuit.

Donc,  un filtre  présentera toujours plus ou moins de  pertes dans la bande qu’il devrait passer. Pour minimiser ces pertes, il faudra que Ro soit grand devant R. ( Ou Qo grand devant Qc...) 

En simulation, il suffira d'inclure dans le schéma les résistances de pertes (série) de chaque composant L et C ( voir chapitre 2) 

  • -

Question 3: L'ajustage fin est -il toujours nécessaire?


Si un filtre LC est très étroit, il est peu probable que les calculs ou la simulation donnent directement le schéma définitif. Ne serait-ce que du fait de l'imprécision des valeurs des composants...

Par contre, si les modèles sont corrects et prennent en compte tous les éléments parasites, il est possible de trouver directement les valeurs d'un réseau LC, si la bande passante est suffisamment large. Il faudra alors faire les calculs d'incertitudes en tenant compte de la précision de chaque composant.

Question 4 : Circuits résonants constitués de lignes?

Oui, c'est bien sur possible dés qu'on monte au delà du GHz...

Des exemples sont donnés dans le châpitre 3 "lignes de transmission".

Question 5: Si je veux une plus grande réjection hors bande ?

Le "facteur de forme" définit le rapport entre la bande passante à -3dB et la bande passante à -20 dB, par exemple. C'est "l'ordre " du filtre qui va jouer sur ce facteur de forme. Ainsi, le filtre que nous avons pris pour exemple est un butterworth  s'il est plat , qui pourra donner un certain facteur de forme. Si ce n'est pas suffisant, il faudra  placer plus de deux circuits couplés....Nous avons vu un exemple à trois circuits LC, ( filtre à 6 pôles.) . On peut multiplier le nombre de circuits à la queue leu leu... ( filtres en échelle...) mais il faudra alors faire une étude  théorique, car les couplages entre circuits sont plus complexes à calculer.

Question 6 : Peut-on placer plusieurs filtres l'un derrière l'autre pour obtenir de meilleurs facteurs de forme ?

Attention, les courbe ne se "multiplient pas ou ne s'ajoutent pas" nécessairement... Si sur une fréquence l'atténuation de chaque filtre est de 20 dB, le résultat ne sera pas en général  40 dB si je place les deux filtres l'un derrière l'autre . En effet, l'atténuation d'un filtre est obtenue par une désadaptation ...Pour comprendre ce qui se passe, supposons par exemple que la sortie du premier filtre , sur une fréquence hors de la bande passante désirée,  soit une impédance  R -JX...  Si par hasard, l'entrée du filtre suivant est  R +jX, la désadaptation disparaît, et l'atténuation désirée aussi...

Pour que les courbes atténuations de deux filtres quelconques s'additionnent, on peut  séparer les deux filtres par un amplificateur, de façon que les filtres ne se "voient" pas....

On peut aussi prévoir entre les deux filtres une cellule qui modifie la réactance jX. 

Sinon, on cherchera  un réseau d'ordre plus élevé, par simulation 

Certaines configurations sont compatibles pour être mises l'une derrière l'autre. Par exemple, les cellules en pi passe-bas... Par exemple, il est assez facile de créer sous 50 ohms un filtre passe bas d'ordre élevé,  constitué de plusieurs cellules LC en pi identiques. ....

Pour un filtre à une seule cellule, on a 0dB de pertes à la fréquence Fo à laquelle la  self fait  +j50 ohms , encadrée par deux capas de -j25 ohms  .  On peut toujours placer ces cellules en série  Plus on augmente le nombre de cellules, plus la forme devient "carrée" : Bande passante plate, et chute de plus en plus rapide hors de la bande. Pour un grand nombre de cellules, la fréquence de coupure croît progressivement  jusqu'à 1,3 Fo

Exemple, réseau en pi constitué de 4 cellules passe bas.

Il est intéressant de connaître les valeurs de L et C donnant la fréquence de coupure dans le cas de 4 cellules. Sous impédance d'entrée/sortie 50 ohms, chaque cellule est constituée:

- d'une self de +j54 ohms

- encadrée par deux capacités de -j28 ohms , 

 (calculées à la fréquence de coupure de -3dB pour un filtre à 4 cellules.) 

cellule pi

Par exemple, pour une fréquence de coupure Fc = 167 MHz,:

+j54 ohms ---> 51.5 nh

- j28 ohms ----> 34pF

le réseau de 4 cellules donnera: 

FLT160passebas

Ce qui donne la réponse en fréquence ci-dessous. ( Tchebychev ordre  8) ... 

- fréquence de coupure à -3 dB : 167 MHz

Jusqu'à 160 MHz, l'ondulation est inférieure à 0,2 dB . 

Ce filtre pourra servir à atténuer les harmoniques d'un émetteur de fréquence maximale  160 MHz. ( En tenant compte de la marge d'erreur sur les composants,) L'atténuation de l'harmonique 2  ( 320 MHz) sera de l'ordre de 80 dB.

BOODE 160passebas 4cell

Les couplages parasites...

Le couplage entre deux circuits n’est pas toujours un phénomène désiré. Lorsque plusieurs circuits résonants sont à proximité l'un de l'autre, leur couplage va entraîner parfois de gros problèmes. Par exemple, si le circuit en sortie d’un amplificateur réinjecte de l’énergie sur le circuit d’entrée, l’amplificateur pourra entrer en oscillation. (Ce qui arrive avec un transistor en émetteur commun, par la capa base-collecteur)

On a vu que le couplage se fera d’autant plus que les Q sont élevés…

On peut réduire le couplage entre deux circuits LC:

  • - En évitant que le flux d’une self n’entre dans le flux de l’autre: Si les selfs sont proches, il sera difficile d'éviter un certain couplage....on croisera leurs axes .
  • -En évitant que les points haute impédance ( points chauds) de chacun ne soient proches. En effet, si le Q est élevé, la moindre capacité entre ces points sera responsable d'un couplage.
  • -En évitant que les courants qui circulent dans chaque circuit aient un chemin commun sur la carte: On évitera d'éloigner la masse de la self de la masse du condensateur de chaque circuit LC.

Lorsque c’est nécessaire, on pourra enfermer chaque  circuit dans un blindage, ce qui élimine les couplages. Le blindage élimine aussi le couplage par chemin commun dans la masse, car les courants de masse ne circulent qu'à la surface intérieure du blindage. On pourra alors placer les blindages en contact entre eux sans qu'il y ait couplage.

Mais attention, le fait de mettre un blindage autour d’une self , s'il est près de la self, réduira légèrement la valeur de l'inductance …

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