4-Les adaptations par un circuit LC résonant

Le circuit LC résonnant peut servir non seulement de filtre, mais aussi pour adapter les impédances. Par exemple, on voudra adapter le signal issu du collecteur d’un transistor à la base du transistor suivant, qui présente une impédance plus faible . Ou bien encore, on voudra réaliser un filtre de résistance d’entrée 50 ohms, et qui appliquera le signal à un amplificateur d’impédance différente. Dans tous ces cas, le circuit LC servira de transformateur.

 Il s'agit donc  de transformer une résistance en une autre...c'est à dire d'adapter une source ( ou générateur) de résistance interne R1 à une charge de résistance interne R2.  Du fait de la résonance, le circuit LC effectuera également un filtrage entre la source et la charge.


Pour calculer les éléments qui composent ce réseau d’adaptation, on utilise deux méthodes très différentes :

- Si le réseau doit passer une large bande de fréquence, il sera composé d'inductances et de condensateurs  formant des  circuits très amortis, on ne parlera pas de résonance. La méthode idéale est celle de l’abaque de Smith

-Si on veut  laisser passer une bande de fréquence plutôt étroite, on parlera de circuit résonant , qui  aura un Q plus élevé. Ce réseau aura deux fonctions, adaptation et filtrage. L'abaque de Smith n'est plus utilisable, on est trop près du bord....

C’est ce qui nous occupe ici…

Certains diront qu’on peut trouver la valeur exacte des composants d’un réseau par une simulation. Ce qui est vrai, mais pour effectuer cette simulation, il faut d’abord savoir comment associer les composants, quelle structure, quel réseau   utiliser ! … Nous donnons ci-après des indications permettant de choisir une structure, à l’aide d’un seul circuit résonant LC ( circuit du deuxième ordre) . Les règles édictées simplifieront considérablement le problème, elles sont valables dès que le Q des circuits dépasse 3 ou 4, et seront d’autant plus précises que ce Q est élevé. La simulation servira ensuite à affiner les valeurs des composants.

Rappelons que ces formules ne sont valables qu’à la fréquence de résonance ou très proche de cette fréquence. Nous donnons les exemples les plus courants de ces « transformateurs d’impédance ». En fait, nous envisagerons pour simplifier que les impédances d’entrée et de sortie sont des résistances ( partie imaginaire nulle) .

Le circuit en L 

Ce circuit permet de transformer dLe circuit en L :es résistances basses en hautes, ou inversement. ( voir figure 40)

On a la relation approchée, d’autant plus précise que Q est grand :

r . R = carré de Z

Z étant le module de Z et de C, puisqu'ils sont égaux en module, à la résonance. 

Exemple : à F = 160 MHz , j’ai les réactances Z de L et de C égales à Z= 100 ohms, si j’ai une résistance en série de 5 ohms, alors la résistance vue en parallèle sera de 2000 ohms environ. Et réciproquement, si je place une résistance en parallèle R= 2000 ohms, je verrai une résistance en série r = 5ohms.

FIG40

Le circuit en pi passe bas.

Ce circuit d’adaptation est le plus connu, il permet de transformer des résistances moyennes ou élevées . La figure 11 donne le schéma d’un tel circuit. Les résistances d’entrée et de sortie se font en parallèle sur des condensateurs qui vont à la masse.

Il faut y reconnaître la maille , un circuit LC composé de la self et des deux capacités en série. La fréquence de résonnance se calcule donc avec la self L et les capacités C1 et C2 en série.

A la fréquence de résonance, ce circuit se comporte comme un transformateur qui transforme R1 en R2 ( ou l’inverse) par la relation :

R2 / R1 = carré de ( C1/C2)

Exemple : un circuit en pi dont la capacité en sortie est le double de la capacité en entrée transforme la résistance d’entrée en une résistance 4 fois plus faible en sortie. ( à la fréquence de résonance, bien sur) 

FIG41

Le pont diviseur inductif .

Ce circuit Figure 12 permet de transformer des résistances moyennes et grandes. On voit qu’on divise la self en deux selfs en série. La fréquence de résonance se calcule évidemment avec C et la self L totale constituée par les deux selfs L1 et L2 en série. Les résistances aux bornes de chaque self sont entre elles comme le carré du rapport des selfs :

Si L = L1 + L2   

  R/R2 = carré de  (L/L2)

Par exemple, si la self L2 côté masse est la moitié de la self L1 qui va au point chaud, alors L2 est le tiers de la self totale... Dans ce cas, la résistance d’entrée R2 sera la résistance parallèle totale R ( résistance au point chaud) divisée par 9.

A noter qu’il est également possible d’utiliser une seule self, avec une prise intermédiaire. Le rapport des résistances sera alors donné par le carré du nombre de spires. (Cette configuration ressemble à un "auto- transformateur" classique, mais l'accord par C est nécessaire.  )

FIG42

Le pont diviseur capacitif.

Le principe Figure 13 est le même que pour le pont diviseur inductif, mais ici, on divise la capacité d’accord C en deux capacités en série C1 et C2.

R2/R = carré de ( C/C2)

Bien sur, la capacité C qui accorde la self sur la fréquence de résonance est constituée des deux capacités en série.

Par exemple, si la capacité C2 côté masse est le triple de la capacité C1,  alors C2 est quatre fois la capacité totale, et  la résistance d’entrée R2 sera la résistance en parallèle sur la self R divisée par 16.

FIG43

L’adaptation par capacité en tête .

Ce circuit peu connu est pourtant souvent le plus intéressant et d’emploi très souple. C’est certainement l’un des moyens les plus simples de transformer les impédances. Il permet d’adapter des impédances hautes, à des impédances plutôt basses.

La figure ci-contre montre une capacité d’impédance Z issue du point chaud du circuit. Si R est la résistance au point chaud, la résistance r est telle que

r.R = carré de Z 

Par exemple,

Il faut commencer par se donner R, la résistance équivalente au point chaud .

si R = 5000 ohms, et si cette capacité de sortie a une impédance Z = 500 ohms, alors r = 50 ohms.

On voit que c’est cette d’impédance « Z » seule qui détermine le rapport de transformation.

Quant au deux composants L et C, ils seront choisis pour obtenir la résonance à la fréquence considérée : Plus leurs impédances respectives seront faibles, plus le Q augmentera.

Si la capa C en parallèle sur la self est nulle, la self aura la valeur maximale et on retrouve le circuit en L classique vu en premier. ( transfo série –parallèle) . 

FIG44

Exemples numériques :

FIG45

Petite remarque : charge série et charge parallèle... 

On remarquera qu'il existe deux  façons de connecter une charge résistive à un circuit LC  :

Les ponts diviseurs, capacitifs ou inductifs, le circuit en pi, correspondent à  des "charges   "parallèles" , ce qui signifie que les charges R  sont  en parallèle sur un élément réactif. ( voir chapitre 2) 

Notons que dans ce cas, on n'obtiendra jamais  une résistance R  inférieure à la résistance "série" du circuit LC. 

 Si on veut des résistances faibles, il faudra placer cette résistance "en série"  : côté "série" d'un circuit en L, ou bien utiliser un circuit en té, comme ci-dessous, où les charges sont en série....

 Autre remarque :  Lorsque la charge est adaptée à la source, charge et source provoquent le même amortissement du circuit LC.

Exemple de charges série : le circuit en Té passe bas. 

Ce circuit permet d’adapter des résistances plutôt basses . Ici, il faut considérer que les charges d’entrée et de sortie sont en série avec les inductances. La fréquence de résonnance du circuit se calcule avec C et les deux selfs en parallèle. La relation de transformation est alors : r1 /r2 = carré de ( L1/L2)

Par exemple, si L1 est le double de L2, si on a 5 ohms connectés côté L2, on aura  20 ohms vus côté L1. 

Circuit en té

Autres transformations :

Il existe encore d’autres configurations LC permettant de transformer les résistances. Notamment, en permutant les selfs et les capacités, on aura des circuits passe haut à la place des circuits passe bas. Cela signifie qu’en dehors de la fréquence de résonance, un circuit passe haut atténuera moins les fréquences élevées, et inversement.

Par exemple, les circuits d’accord de sortie d’un émetteur radio seront en général à configuration « passe bas » pour éliminer les harmoniques : Pi passe bas ou  Té passe bas. .

Le pi quart d'onde:  

On sait qu'un tronçon de ligne quart d'onde permet de transformes un résistance en une autre, (voir le chapitre sur les lignes de transmission) . Ce qu'on sait moins, c'est que la structure en pi ci-contre  est équivalente à une ligne quart d'onde d'impédance caractéristique 50 ohms,  autour de sa fréquence de fonctionnement. Cette cellule particulière  pourra remplacer une ligne quart d'onde en économisant de la place, en particulier aux fréquences basses. Ce pi peut aussi servir de déphaseur 90 degrés. 

pi quart d'onde

Bandes larges : utilisation de l’abaque de Smith.

Les cours sont assez complets sur l’abaque de Smith. Aussi n’allons-nous prendre qu’un seul exemple simple :Transformer une résistances r de 12,5 Ohms en R = 50 ohms, à F = 160 MHz.

Si je veux appliquer la formule précédente avec un circuit en "L", l’impédance de la self L et de la capacité C devrait être Z telle que Z2 = 12,5 . 50

donc Z = 25 ohms pour la self et la capacité .

FIG40

Mais on voit alors que Q = 50/25 = 2 qui est faible. L’abaque de Smith va nous donner les valeurs plus exactes.

Nous prenons un abaque normalisé à 50 ohms.

Nous partons du point A ( Z = 12,5 ohms + 0 j ) ce qui se traduit par

une impédance "réduite" z =  12,5 /50  +  0 /50 j =  0,25 + 0j

Nous ajoutons une réactance positive 0,43 j pour arriver au point z2.

Nous passons en admittance en prenant le symétrique par rapport au centre.

Nous obtenons le point y2 = 1 + 1,7 j

Pour arriver au centre du diagramme ( y = 1 ou z =1 , le centre correspond à 50 ohms en admittance comme en impédance) nous ajoutons une admittance 1,7 j

La réactance positive 0,43 j est une self série de 21,5 ohms, donc L = 21 nH

L’admittance positive de 1,7 j est une capacité parallèle de 28 ohms, donc une capacité C de 35 pF.  

smith5

Remplacer la self par une ligne ?

Pour les fréquences élevées, on pourrait remplacer la self L par une ligne. Si cette ligne est très courte  rapport au quart d'onde, on s'aperçoit qu'il n'y a pas une grande différence . Dans notre exemple ci-dessus, nous  partons  de A pour arriver sur le cercle orange:  

Avec une self, c'est le trajet en noir:

A-->Z2,  , sur une trajectoire à partie réelle  constante.

Avec une ligne, nous tournons autour du centre , selon  l'arc de cercle rouge. Il faudra un petit peu moins de capacité, c'est normal, la ligne en apporte déjà un peu... 

smith6

Aux fréquences élevées, ce que nous avons dit sur les circuit LC peut se transposer avec des circuits à lignes. Voyez le chapitre 3 "les lignes de transmission" , paragraphe "les lignes résonantes"...

Très large bande :

 Si on désire élargir la bande, on pourra mettre l’un derrière l’autre deux transformateurs en L, en passant par une résistance intermédiaire moyenne géométrique des deux résistances d’extrémités. Voir par exemple l'adaptation d'entrée dans le chapitre 12 "Exemple :Un ampli UHF de puissance". 

 Lorsque la bande dépasse une octave, il est nécessaire d’utiliser des transformateurs  utilisée sur les fréquences plus basses , composés de deux enroulements sur un tore de ferrite. Mais aux fréquences UHF, et au delà, les pertes des ferrites peuvent être importantes, et on pourra utiliser des lignes couplées très serrées composées de câbles coaxiaux ou de fil torsadé.

Et pour améliorer le filtrage, plusieurs circuits résonants....

On obtiendra un meilleur filtrage avec des circuits d'ordre supérieur à deux. Le chapitre suivant indique comment "coupler" des circuits LC ...

Et si la charge n'est pas une résistance pure ? 

On appliquera la règle classique  qui dit que la charge aura une impédance conjuguée à celle de la source ( parties réactives opposées) . Ceci ne pose pas de problème avec l'abaque de Smith : L'impédance "d'arrivée" devra présenter à la source une impérance R -jX si la source est R + jX.

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