Un incontournable à connaître, le circuit LC.


Ce que vous trouverez ici sur les circuits LC  est indispensable pour comprendre les chapitres suivants ! 

Vous pensez connaître les circuits LC ? Jetez un œil ci-dessous, sur les circuits LC simples , il se peut que vous y trouviez une approche différente….

L’association des inductances (appelées aussi  selfs) et des condensateur est à l’origine de phénomènes de résonance. Utilisé pour réaliser des filtres ou pour adapter des impédances,  le circuit LC produit aussi de nombreux phénomènes pas toujours désirés. 

Nous ne reviendrons pas sur les calculs qui permettent de retrouver les résultats de l'association des inductances et des condensateurs en utilisant leurs impédances complexes jLw et -j/cw.

La formule de Thomson que l'on trouve partout donne la fréquence de résonance d'un circuit LC  en fonction de L et de C. Mais il est très souvent commode de la considérer différemment, avec les unités utilisées en RF:   Fréquence en GHz - Capacité en pF - inductance en nH.

La formule pratique devient : carré de F = 25,4 / LC

Exemple : C= 10pF L = 100 nH alors on trouve F = 0,159 GHz = 159 MHz


Ce qui est fondamental : 

Plaçons la self et le condensateur en série. Nous appellerons cette association « circuit résonant série » . L’impédance de ce circuit série est nulle à la fréquence de résonance.

On peut être choqué par le fait que deux impédances en série ont une impédance nulle !....Cela  s'explique très bien si on considère l'impédance  jLw de l'inductance et l'impédance        -j/cw du condensateur.  Si on les met en série, la somme de ces deux impédances  jlw -j/cw  s'annule pour un certain w. 


Plaçons la self et le condensateur en parallèle. Nous appellerons cette association « circuit résonant parallèle ». L’impédance de circuit parallèle est infinie à la fréquence de résonance .



Circuit amorti :

Cependant, en général, les condensateurs et les selfs ne sont pas parfaits : résistance ohmique de la self, rayonnement de la self, pertes diélectriques du condensateur, etc….De plus, le circuit n’est pas isolé : on aura connecté en parallèle sur ces composants des éléments résistifs pour faire fonctionner le système. Le résultat de tout cela, , c’est que l’énergie des oscillations électriques sera plus ou moins dissipée. On dit que le circuit est « amorti » …

L’amortissement du circuit peut être mesuré par le « coefficient de surtension » noté Q: Un circuit peu amorti possède un Q élevé .

CIRCUIT SERIE: Toutes ces pertes peuvent être  représentées, autour de la fréquence de résonance,  par une résistance pure fictive r en série dans le circuit LC. La conséquence, c’est qu’à la fréquence de résonance, l'impédance du circuit série ne sera plus tout à fait nulle, il subsistera cette résistance en série notée ici par r. Cette résistance est d'autant plus petite qu'il y a peu de pertes. ( figure 20)


CIRCUIT PARALLELE: Toutes ces pertes additionnées peuvent être  également représentées, autour de la fréquence de résonance, par une résistance pure fictive R en parallèle sur le circuit LC. Donc, à la fréquence de résonance, même si l'ensemble LC présente une impédance infinie, il subsistera cette résistance notée R. Cette résistance d'amortissement est d'autant plus grande qu'il y a peu de pertes.


FIG20

Définition du point chaud, du point froid...

Un circuit LC est généralement introduit dans un réseau constitué  de nombreux composants, et comprenant une référence, la masse. Cette masse est sous forme d'un plan métallique constituant la "couche de masse" de la carte électronique.

Quand nous parlerons de tension ou d'impédance en un point, c'est, bien sur, par rapport à la masse.

Le "point froid " d'un  circuit  possède une impédance nulle par rapport à cette masse,  soit parce qu'il y est relié directement, soit parce qu'il y est relié par un condensateur d'impédance nulle en RF, dit "condensateur de découplage" . Il n'y a donc pas  de tension RF sur un point froid......


Le point chaud d'un circuit LC possède une impédance maximale par rapport à la masse.  S'il y a de l'énergie RF dans ce circuit, c'est en ce point que la tension est maximale. 

Nous parlons de point chaud ou de point froid en général en supposant qu'il y a résonance . A la fréquence de résonance, les impédances n'ont qu'une partie réelle: elles sont équivalentes à des résistances pures.  Donc l'"impédance" au point chaud d'un circuit à la résonance  est  équivalente à une grande résistance.  Nous verrons par la suite que cette impédance  au point chaud est essentielle pour déterminer les autres impédances en différents points du circuit LC.  

Pour ceux qui pratiquent la RF depuis longtemps, le point chaud est reconnaissable si on le touche du doigt, c'est le point le plus sensible, l'endroit où le doigt "désaccorde" le circuit...Mais attention s'il y a une tension élevée !  

Nous voyons que dans le circuit ci-dessous, la résistance au point chaud , c'est tout simplement la grande résistance parallèle dont nous avons parlé plus haut....puisque l'ensemble de L et C en parallèle a une impédance infinie.

circuit LC

En dehors du point chaud, de résistance maximale, et du point froid de résistance nulle, nous trouverons sur un circuit à la résonance, toutes les résistances intermédiaires. Par exemple, si on fait une prise au milieu de la self, le point situé sur cette prise  présentera une résistance R/4,  si R est la résistance au point chaud....Nous verrons cela en détail au chapitre "adaptation par circuit LC" 

Rappelons-nous  qu'à la résonance, les impédances   n'ont qu'une partie réelle, ce sont des résistances, même si souvent on continue à parler d'"impédance". 

Courbe de réponse - Coefficient de surtension

- La figure 21 montre le montage ultra classique d’un « circuit LC parallèle » attaqué par un générateur de courant i ( ce générateur est donc  à très haute impédance !! Beaucoup plus grande que R)  . 

Ce circuit réel est modélisé par une self parfaite L, un condensateur parfait C, et une résistance R qui représente l’amortissement. A la fréquence de résonance, l’ensemble « L et C en parallèle » a une impédance infinie. 

Donc à la fréquence de résonance,  l'ensemble de L et de C disparaît, il ne reste que la résistance R, et l'impédance de l’ensemble sera maximum . La tension de sortie sera alors égale au courant injecté multiplié par R. Comme R est grand, cette tension peut être très grande .

Imaginons la réponse en fréquence de ce système . La tension est maximale à la fréquence de résonance Fo , et la largeur du pic de la courbe ( à -3dB) de la réponse en fréquence soit BP. Le rapport Fo / BP indique que combien la courbe est « pointue ». Ce rapport de la Fréquence à la bande passante est le coefficient de surtension Q du circuit LC.

FIG21

Il est possible de calculer ce coefficient Q d’une autre façon :

A la fréquence de résonance, l’impédance de la self et l’impédance du condensateur ont même module, qu’on appellera Z.

Nous avons vu que l'amortissement peut être représenté, à la fréquence de résonance, soit par r,  la résistance équivalente série, soit par  R,  la résistance équivalente parallèle, 

On peut exprimer le coefficient de surtension :

- soit par : Q = R/Z

- ou encore par Q = Z/r

Ces deux expressions de Q  permettent de trouver une relation entre R et r. Donc on sait transformer R en r et réciproquement, avec une précision d’autant plus grande que Q sera grand. En pratique, il faut que Q soit au moins égal à 3 .

On a alors : r . R = carré de Z.         et R = r.(carré de Q)

C’est le transformateur en L , qui permet de transformer une résistance grande en résistance petite, et réciproquement.

Exemple , considérons le circuit de la FIG22:

Un circuit composé d’une inductance L et d’un condensateur C sans pertes est chargé en parallèle par R = 5 000 ohms .L’inductance est de 100 nH et le condensateur est de 10 pF.

Question : A la fréquence de résonance, quelle résistance r voit-on en série ?

Calculons la fréquence de résonance :Fo = 160 MHz

La fréquence de résonance est la fréquence à laquelle l’impédance de C et l’impédance de L sont égales en modules :

Ici, à la fréquence de résonance Fo = 160 MHz, on trouve module de Z = 100 ohms.

On a donc r. R = Z au carré     .  Donc r = 10 000 / 5000 = 2 ohms

( à la fréquence Fo, bien sur ! )

On a donc transformé une résistance de 5000 ohms en une résistance de 2 ohms. 

Réciproquement, si nous plaçons une résistance de 2 ohms en série ( à gauche sur le schéma) , alors nous aurons une résistance de 5000 Ohms en parallèle  ( à droite sur le schéma) 

FIG22

La résonance va produire des phénomènes qu'il faut bien connaître :

La « surtension » à la résonance : A l’aide d’une source de tension, appliquons une tension RF sur un « circuit LC série » A la résonance, le circuit série se réduit à la résistance série r , qui est petite si le Q est élevé. La source de tension est donc appliquée sur cette résistance très petite. Donc le courant est très important . Mais ce courant traverse la self L et la capacité C… donc nous aurons aux bornes de L et aux bornes de C une tension bien plus importante que celle appliquée par le générateur.

Rappelons qu'on a appelé « point chaud » le point d’un circuit résonant LC où la tension ( ou l'impédance) est la plus élevée par rapport à la masse.

Le « sur-courant » à la résonance : Appliquons une tension sur le sommet d'un circuit résonant parallèle. Cette tension va provoquer un courant dans la self et un courant dans le condensateur. Mais ces deux courants sont pratiquement opposés, ce qui signifie que le courant sortant de la self est presque le même que celui entrant dans le condensateur. Le courant qui vient du générateur est donc , uniquement le courant allant dans la résistance, très faible si R est grand.

Le circuit LC est donc le siège d'un courant bien plus important que celui que lui injecte le générateur. Nous verrons qu’il est important de connaître ce phénomène lors du routage des composants sur une carte.

Coefficient de qualité Qo et coefficient Qc en charge .

Le coefficient de surtension Q d’un circuit LC est déterminé par deux causes d’amortissement :

-1- La qualité des composants LC: les selfs et les condensateurs n’étant jamais parfaits, ils dissiperont une partie de l’énergie qu’ils reçoivent. Il s’agit essentiellement de la résistance ohmique de la self, des pertes par rayonnement, de la qualité du diélectrique du condensateur, etc... Toutes ces pertes propres au circuit lui-même donnent ce qu’on appelle le coefficient de qualité à vide du circuit LC, noté Qo. Si L et C sont en parallèle, on peut représenter cet amortissement propre au circuit par une résistance fictive Ro en parallèle, très grande si les composants sont de bonne qualité.

-2- Les « charges » du circuit : Le circuit LC n’est jamais isolé, il remplit une fonction, souvent celle de filtre, et donc il est associé à d’autres éléments électroniques. On dit qu’il est « chargé » . Le plus souvent, ces charges sont des éléments résistifs, et on représentera leur effet par une résistance Rc en parallèle sur le circuit . Ces charges font donc baisser le coefficient de surtension.

Le coefficient de surtension réel , appelé Q en charge, est donc donné par ces deux résistances en parallèle sur le circuit, Ro et Rc . Ces deux résistances amortissent le circuit en dissipant son énergie. Mais on comprendra que Ro est nuisible, puis qu’elle dissipe l’énergie dans le circuit LC, alors que Rc est utile, puisque le but est de transmettre l’énergie à cette charge.

Ainsi,si Ro est très grand devant Rc, les pertes propres, dissipées par Ro, seront négligeables. Par contre, si par exemple Ro = Rc, alors la moitié de l’énergie injectée sur le circuit sera dissipée et ne sera pas restituée par le circuit à la charge. La figure 23 montre les deux façons de modéliser un circuit LC parallèle..Le modèle général, à gauche, montre les résistances de pertes en série avec L et C, même hors de la résonance. Le modèle de droite montre que les résistances série propres au circuit sont transformées en Ro autour de la résonance. . FIG23

FIG23

Choix de L et de C

Comme la fréquence de résonance est fonction du produit LC, on peut se poser la question : Ais-je le droit de prendre ce que je veux pour L ou pour C ? Par exemple, si je choisis L très petit, il suffira que je place alors un C très grand...

Eh bien non, on ne peut pas faire n'importe quoi.

Si je diminue fortement L, l'inductance diminuera plus vite que la résistance du conducteur (* Si je diminue le nombre de spires d’une bobine, son inductance décroît plus vite que le nombre de spires, alors que la résistance décroît comme le nombre de spires…),

donc le Qo = ZL /r , sera réduit. Par ailleurs, en VHF et UHF, la piste constituera une self qui deviendra prépondérante.

Si j’augmente fortement L, le Qo du à la self va certes augmenter....Mais la self possède une capacité parasite, et viendra un moment où cette capacité, additionnée  aux capacités des pastilles du circuit imprimé,   sera suffisante à elle seule pour réaliser l’accord sur la fréquence désirée. L'accord du circuit, réalisé par uniquement les capacités parasites par rapport à l'environnement, deviendra instable et difficilement modélisable. Par ailleurs, la résistance équivalente en parallèle sur L et C  deviendra énorme:

R = Q Z , et on ne pourra connecter aucune charge de résistance raisonnable en parallèle.

En règle générale, sauf cas particuliers, on choisit l'impédance Z de la self et de la capacité entre une vingtaine d'ohms et quelques centaines d'ohms....C'est à dire, finalement, autour de la centaine d'ohms.... 

Un exemple de  cas particuliers, si le circuit LC attaque un transistor RF de puissance . L'impédance d'entrée d'un tel transistor peut être très petite, de l'ordre de l'ohm voire moins.  Cette charge sera placée en série dans un circuit LC d'adaptation.  On voit que si on veut une bande passante pas trop étroite, il faudra un circuit LC  d'impédances Z faibles. Par exemple, un circuit avec ZL =, Zc = 10 ohms et une charge  série de 1 ohm aura un Q de 10.

Pour plus de détails, voir le paragraphe "Un ampli UHF de puissance"

Mesurer la fréquence de résonance d’un circuit LC sur une carte.


Il est parfois nécessaire d’avoir une idée de la fréquence de résonnance d’un circuit LC déjà en place sur une carte électronique . Il existe à cet effet des « ondemètres » à absorption , ou « grid-dip ». On couple la bobine du grid-dip à la bobine du circuit à mesurer, et en balayant les fréquences d’oscillation du grid-dip, on trouve une déviation de l’aiguille car à sa fréquence d’accord, le circuit testé absorbe l’énergie du grid-dip.

Pour que la mesure soit correcte, il est souhaitable que le montage soit sous tension, car les charges et les capacités du montage sont très différentes quand le circuit n’est pas sous tension.

Dans le paragraphe « L’inductance réelle » , nous indiquons une autre façon de mesurer la fréquence de résonance de l’association d’une inductance et d’un condensateur , par la méthode « du réjecteur » .

Pourquoi une telle importance des circuits LC en radiofréquences ?

  • Les circuits LC sont partout sur les cartes RF : Ainsi, entre deux étages d’amplification RF , on trouvera des circuits LC qui servent à la fois de filtre et d’adaptation d’impédance.

  • Par ailleurs, aux fréquences de plusieurs centaines de MHz voire plus, on constate que le schéma théorique ne nous dit pas tout: Les pistes présentent des inductances et des capacités dont il faut tenir compte.  les composants eux -mêmes présentent des capacités et des inductances parasites. 
  • Tout ceci produit des phénomènes que nous allons tenter de cerner...