3- Les lignes de transmission

Le problème : En radio-électricité, Comment  transporter un signal RF d'un générateur ( source) jusqu'à une « charge » R ( ou « récepteur ») à une certaine distance ?

On reliera  le générateur à la charge par une "ligne de transmission".

Si on connecte en bout de cette  ligne  une résistance R de charge, la question qui se pose , c'est de savoir quelle impédance sera vue par le générateur à l'autre extrémité. Pour une fois, la nature fait bien les choses.. En effet,  si on choisit convenablement les paramètres physiques de la ligne, la ligne reproduira à son extrémité la résistance R qu'on a connectée en bout. Et cela, quelle que soit sa longueur. On dit alors que la ligne a une "impédance caractéristique Zc" égale à R.

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FIG30 _________________________________________________________

La ligne, c'est quoi ? 

Note : Pour les fréquences UHF qui nous occupent ici, nous parlerons  "des lignes TEM", comportant donc deux conducteurs.....

La ligne peut être une piste sur une carte, évoluant au dessus d'un plan de masse. 

Si W est sa largeur, si h est sa hauteur au dessus de la masse, pour un isolant donné, le rapport W/h définira l'impédance caractéristique de cette ligne.

Par exemple, si la charge R en bout de la piste  est égale à 50 ohms, la piste ( ligne) , devra avoir "une impédance caractéristique" de 50 ohms. Elle présentera alors cette résistance à son autre extrémité. Pour une carte dont l'isolant est l'époxy, Une impédance caractéristique de 50 ohms est obtenue si w/h = 1,85 , où W est la largeur de la piste, et h l’épaisseur de l’époxy entre piste et plan de masse. 

La ligne peut être aussi un câble coaxial. qui transportera  de la même façon le signal de la source jusqu’ à la charge .

Presque toujours, les appareils RF des laboratoires présentent des résistances d'entrée et des résistances de sortie de 50 ohms. Pour relier ces appareils entre eux, on doit donc utiliser des câbles coaxiaux d'impédance caractéristique 50 ohms. ( câble RG58) . Ainsi, les équipements verront toujours 50 ohms.

Ligne symétrique ou asymétrique.

Pour les fréquences UHF, la plupart des lignes d'aujourd'hui sont des câbles coaxiaux pour les transports de signaux extérieurs aux équipements, ou des pistes imprimées pour le transport des signaux sur une carte. Toutes ces lignes sont composées d'un conducteur associé à une masse qui le suit partout. 

Mais pour les fréquences plus basses on peut trouver aussi des lignes symétriques   composées de deux conducteurs identiques , ce sont les lignes "bifilaires", d'impédance caractéristique  souvent de 300 ohms...

Enfin, pour les fréquences plus hautes, aux hyperfréquences, on trouvera des guides d'ondes, (mais qui ne sont plus en mode TEM....)

Ce qui est essentiel :

La source « voit » l'extrémité de la ligne  comme une résistance R,  et cela quelle que soit la longueur de la ligne, si à l'autre extrémité, la charge est une résistance R, et si « l’impédance caractéristique » de la ligne est "R" .

On dit que l’on est "adapté", et que la ligne fonctionne en "ondes progressives".

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Ondes stationnaires

Et si ces conditions ne sont pas remplies ? Les ondes stationnaires…

Si le câble "d'impédance caractéristique 50 ohms" est connecté en bout à une charge différente de 50 ohms ,l'impédance que la ligne présentera à son autre extrémité dépendra alors de sa longueur ; La tension RF ne sera pas la même partout sur la ligne, et le courant non plus. On peut interpréter ce phénomène en considérant le signal le long de la ligne comme une "onde". 

Si la ligne n'est pas chargée à son extrémité par son impédance caractéristique, une partie de l'onde qui arrive sur la charge va être réfléchie et repartir dans l'autre sens. En certains endroits, l'onde réfléchie sera en phase avec l'onde incidente, et en d'autres endroits elle sera en opposition. Prenons un exemple :

Exemple : J'envoie  sur un câble (ZC =50 ohms) qui n'a pas de pertes, un signal RF sinusoïdal de puissance 1 watt. Si le câble est chargé en bout par 50 ohms, alors on a vu qu'il présentait de mon côté une résistance de 50 ohms quelle que soit sa longueur. Je dois donc appliquer une tension de 7 volts eff, puisque P = Vcarré  /R

Oui, mais voilà... supposons que la  charge en bout du câble soit 150 ohms. Dans ce cas, le tableau plus bas nous dit que 25 % de la puissance qui arrive sur la charge de 150 ohms va être "réfléchie" et va repartir dans l'autre sens.

Si 1 watt correspond à 7 volts, alors 0,25 watt correspond à 3,5 Volts.

A certains endroits du câble, la  tension de l'onde directe et la tension de l'onde réfléchie s'ajoutent : on aura 7 + 3,5 = 10,5 V

A d'autres endroits , elles sont en opposition et se retranchent :

7V - 3,5 V = 3,5 V

Donc il n'y aura pas partout dans le câble la même tension ni le même courant ....On montre que les maxima sont distants de lambda/2, ainsi que les minima.

On appelle ROS ( Rapport d'ondes stationnaires) le rapport entre la tension maximale et la tension minimale . Dans notre exemple, ce sera 10,5 / 3,5 = 3

Remarquez que le ROS est le rapport entre la résistance qu'il y a en bout ( 150 ohms) , et celle qu'il aurait fallu pour être adapté ( 50 Ohms) . Mais pour faire ce rapport, on fait toujours le rapport entre la plus grande et la plus petite, de façon que le rapport soit supérieur à 1.

Voici un tableau indiquant quelques valeurs à connaître, pour un câble 50 ohms:

Résistance de charge      puissance réfléchie         ROS

50 Ohms                                          0%                        1

100 Ohms ou 25 Ohms                      11 %                        2

150 Ohms ou 16,5 Ohms                  25 %                       3

0 Ohms ou l'infini                           100%                    Infini

Bien sur, l'idéal c'est d'avoir une onde progressive , soit un ROS de 1: Toute la puissance que fournit le câble est absorbée par la charge....

Des appareils très courants, les ROS mètres ou réflectomètres, permettent de mesurer la puissance directe et la puissance réfléchie en un endroit du câble...

Remarque : faut-il toujours adapter?

En RF, on a généralement intérêt à adapter la charge à la ligne de transmission, car on a intérêt à connaître l'impédance que la source voit, à l'autre extrémité de la ligne .

Si l'extrémité de la ligne est adaptée ( charge de 50 ohms, par exemple) , la  source "voit" une résistance de 50 ohms , quelle que soit la longueur de la ligne. Une question se pose : Cette source doit-elle nécessairement présenter elle aussi une résistance de sortie de 50 ohms?

Si la puissance fournie par cette source est "chère" à obtenir ( par exemple une antenne de réception) , il faut que cette source fournisse toute la puissance qu'elle est capable de fournir: Ce sera le cas si sa résistance interne fait 50 ohms.

Mais il n'est pas toujours indispensable d'adapter. Si on a une source à très basse impédance de sortie, le fait de lui connecter la ligne 50 ohms changera peu sa tension de sortie. Dans ce cas, la charge,  recevra toujours la même puissance, puisque la source donne une puissance constante P = Vcarré /50 ohms...  Il n'y aura pas  d'ondes stationnaires si la charge est adaptée.

Dans le cas d'un signal numérique de transmission de données, si on a une charge désadaptée, une réflexion sur la source du signal réfléchi va provoquer un aller-retour du signal sur la ligne, ce qui provoquera des interférences inter symboles.

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Pertes d’un câble

Comme rien n'est parfait en ce monde, un câble coaxial introduit des pertes, par effet joule, par pertes diélectriques, etc. .Le câble aura d'autant plus de pertes que son diamètre est petit. 

Le constructeur du câble donne ces pertes , fonctions de la fréquence.

Ainsi, à 100 MHz, un câble RG58 ( le plus courant, qu'on trouve partout dans les labos) présentera par exemple 15 dB de pertes pour 100 mètres. Si on a 20 mètres de câble, on aura 3dB de pertes ( Vu ? les pertes en dB sont proportionnelles à la longueur...)

Donc si j'applique un watt à ce câble, il n'arrivera que 0,5 W, la moitié de la puissance, à l'extrémité ( -3dB)

Remarquez le piège si je mesure le taux de puissance réfléchie d'une antenne vue au bout d'un long câble : Supposons que ma charge soit une antenne, mais, manque de chance, celle -ci est coupée ( Z = l'infini) ....Toute la puissance sera réfléchie et repartira vers la source. Mais en parcourant le câble, la puissance qui revient sera à nouveau divisée par deux. Donc côté source, j'enverrai 1 watt, et je ne verrai revenir que 0,25 W. Je pourrai croire que mon antenne n'est pas si mauvaise que cela, alors qu'en fait elle est coupée !!  

Conséquence: Si on veut mesurer le taux de puissance réfléchie par une antenne, il faudra tenir compte des pertes dans le câble, entre le point de mesure et l'antenne, si ces pertes ne sont pas négligeables... 

Réaliser une ligne d’impédance caractéristique donnée sur le circuit imprimé ;

Je veux réaliser une ligne d'impédance caractéristique donnée, sur mon circuit imprimé...Cette piste doit être impérativement au dessus du plan de masse, et celui-ci sans coupure.

Si W est la largeur de la ligne, et si h est la hauteur au dessus de la masse ( h est donc l'épaisseur de l'isolant) , des courbes qu'on trouve facilement donnent l'impédance caractéristique fonction de W/H, pour un substrat donné.

Par exemple, pour un isolant époxy, on a les valeurs suivantes :

W/h                 0,3            0,5             0,7             1               2               4

Zc ( en ohms)   100            85              75            65              48            30 

 Si on tient à placer un autre plan de masse , de façon que la piste soit prise entre les deux, ( ligne tri-plaque) il faudra évidemment revoir le rapport w/h....

Le coefficient de vélocité :

L'onde  se propage dans une ligne moins vite que dans le vide, notamment si il y a un isolant ( diélectrique) autre que l'air.  La longueur d'onde dans la ligne sera alors plus courte.  

Il faudra  multiplier la longueur d'onde dans le vide ( lambda zéro = C/F)  par un coefficient k de "vélocité". 

On obtiendra ainsi la longueur d'onde dans la ligne , que je note toujours "lambda G".

Pour un câble RG58 dont l'isolant est du polyéthylène, k = 0,66.

Pour un coaxial à isolant téflon, k = 0,7

Voici quelques valeurs pour une ligne imprimée , fonction du substrat :

Impédance présentée par la ligne

Comment trouver l'impédance en bout de la  ligne , si l'autre extrémité n'est pas chargée par l'impédance caractéristique?

Nous allons voir d'abord deux cas particuliers importants :

La ligne "demi-onde" :

Une ligne demi-onde répète à son extrémité l'impédance qu'on lui a  placée à l'autre extrémité. En d'autres termes, la ligne demi-onde ne change pas l'impédance ...

Mais c'est quoi, une ligne demi-onde? Vous allez dire, facile... connaissant la fréquence, je calcule la longueur d'onde lambda = C / F... Ainsi, avec F = 300 MHz, j'aurai lambda = 1 mètre.

Oui, mais voilà, ceci n'est vrai que si l'isolant de la ligne est du vide ou de l'air. Or, la plupart du temps, l'isolant d'un câble, ou l'isolant d'une piste, ce n'est pas de l'air, et il faudra appliquer le coefficient de vélocité ...

Donc, finalement, quelle sera la longueur d'une ligne demi-onde à 300 MHz, pour du câble RG58 ? Ce sera la demi-onde dans le vide : 0,5 m mais multiplié par 0,66, donc 33 cm.

La ligne "quart d'onde" :

Si la longueur de la ligne est égale à un quart d'onde  , alors la ligne "inverse" l'impédance: si il y a un court circuit à l'extrémité, ou trouve un circuit ouvert à l'autre extrémité. Et inversement, si elle est ouverte, on trouve un court circuit à l'autre bout.

D'un façon générale, soit une ligne quart d'onde d'impédance caractéristique ZC. Si on place une résistance R1 en bout, on trouve une résistance R2 à l'autre bout, telles que 

R1. R2 = carré de Zc .  Bien sur, là aussi il faudra tenir compte du coefficient de vélocité k.....

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Et si la longueur de ma ligne est quelconque ?

Il est possible, grâce à l'abaque de Smith, de connaître l'impédance qu'on voit  à l'extrémité d'une ligne de longueur L , connaissant l'impédance caractéristique de cette ligne, le facteur de vélocité k, et l'impédance qui est connectée à son autre extrémité.

On calculera d'abord la longueur d'onde dans la ligne ( lambdaG) , qui est la longueur d'onde dans le vide (lambda zéro) , multipliée par le coefficient  de vélocité k. 

On portera sur l'abaque le point d'impédance Z connectée en bout de la ligne, et on tournera autour du centre d'un angle correspondant à la longueur de la ligne :  Un tour complet  correspond à  une demi-onde : 0,5 lambda G. D'ailleurs, le cercle extérieur de l'abaque n'est pas gradué en degrés, mais directement en  "lambdaG"  . 

Ainsi, si on tourne d'une demi-onde, ( tour complet) on retrouve le même point, ce qui est normal, on vient de voir qu'une demi-onde ne changeait pas l'impédance.....

Par exemple, que trouve-t-on à l'extrémité d'une ligne, si son autre extrémité est en l'air ?

Si sa longueur est très inférieure au quart d'onde, on trouvera une capacité.  Si on augmente sa longueur, cette capacité va croître jusqu'à devenir un court -circuit quand la longueur est égale au quart d'onde.....

Et si l'extrémité est un court circuit ? Tant que sa longueur est très petite, on trouvera une self. Si on augmente sa longueur, l'inductance équivalente va augmenter, jusqu'à devenir une impédance infinie pour une longueur d' un quart d'onde. 

Cas général, exemple sur l'abaque de Smith

Trouver l'impédance présentée par une ligne, connaissant l'impédance présente à l'autre extrémité.

Le constructeur donne l’impédance d’entrée d’un circuit intégré : Z = 100 – j 60 ohms. Sur une carte epoxy, une piste de longueur 35 mm arrive sur ce circuit. Cette piste a une largeur de 1,5 mm, et est à la distance de 0, 8 mm du plan de masse. Quelle impédance trouve-t-on à l’extrémité de cette piste, à F = 1 Ghz ?

1-On a donc W /h = 1,5 /0,8 = 1,87 Pour ce rapport, l’impédance caractéristique est 

Zc = 50 ohms.

2-On calcule la longueur d’onde dans le vide "lambda zéro" = C/F = 30 cm .

En tenant compte du facteur k = 0,5 de l’époxy, la longueur d’onde sur la ligne est

  "lambda G" =  k . lambda zéro  = 0,5 . 30 cm = 15 cm = 150mm.

3- On prend "lambda G » comme unité :  cette piste mesure donc  :

35mm /150mm = 0,23 fois « lambda G »

4- On prend l'impédance caractéristique comme unité: l'impédance "réduite" est donc :

z = 100 /50 - j 60/50 = 2 – 1,2 j

5- Sur l’abaque : A partir du point A : 2- 1,2 j , on tourne de 0,23 fois « lambdaG » dans le sens des aiguilles d’une montre . Pour cela, on peut s’aider du cercle gradué extérieur de l’abaque, gradué en lambdaG,  sachant que 1 tour complet correspond à 0,5  « lambda G ».

5-On obtient ainsi le point B : on lit l'impédance réduite  z= 0,35 + 0,1 j . On en déduit l’impédance en ohms à l’extrémité de cette piste , en multipliant par 50 :

0,35 . 50 + j 0,1 . 50 = 17,5 Ohms + j 5 ohms

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Remarque : On tourne en sens inverse des aiguilles d'une montre  quand on  connaît l'impédance présentée par la ligne, et qu'on cherche l'impédance qui est connectée  à l'autre extrémité. Par exemple, pour trouver l'impédance d'une antenne quand on a accès à l'extrémité du câble coaxial.   Ce sens de rotation est à éviter dans tous les autres cas si on n'a pas l'habitude de l'abaque, car il fait faire souvent des erreurs. 

Autre  exemple: morceau de piste court-circuitée à la masse

Que voit-on à l'extrémité d'une piste courte dont l'autre extrémité est en court-circuit ?

Soit une piste d'impédance caractéristique 50 ohms sur époxy ( k = 0,55) , de longueur 15 mm, mise à la masse  à son extrémité. Nous sommes en 430 MHz.

A 430 MHz, Lambda zéro = 70 cm.

LambdaG = k. 70 cm = 0,55 .70 = 38,5 cm.

Une piste de 1,5 cm fait donc en unité lambdaG:

1,5cm / 38,5 cm = 0,04 lambdaG

 Sur l'abaque de Smith, nous  partons du point correspondant à un court circuit:

  Z = zéro.

Nous tournons de 0,04 lambdaG , nous obtenons un point d'impédance réduite :

+ 0,26 j 

 Nous passons en ohms en multipliant par 50 ohms :  0,26j x 50 = +j13 ohms 

Cette piste est donc équivalente à une self de 5 nH qui va à la masse.

On voit que l'abaque de Smith permet de trouver l'inductance de pistes courtes qui vont à la masse. On pourrait de la même façon, en partant d'un circuit ouvert, trouver la capacité de petits morceaux de pistes "en l'air", en partant de Z = l'infini. 

Ces pistes ont des valeurs de selfs ou de capas qui ne dépendent pas de la fréquence tant que leur longueur est très courte devant le quart d'onde. Dans l'exemple ci-dessus, on aurait pu prendre une autre fréquence , plus basse, on aurait trouvé encore environ 5 nH...

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Le rayonnement d’une piste :

Il passe dans la masse, sous la piste, le même courant que dans la piste, mais de sens opposé, que j'appelle parfois "courant image". Ces deux courants sont normalement très proches, et induisent donc dans l’espace loin de la piste des champs opposés. Pour cette raison, la piste rayonne très peu dès qu’on s’en éloigne.

Champ proche : Un point M de l’espace proche de la piste ne sera pas tout à fait à la même distance du courant de la piste et du courant dans la masse. Donc  les  champs en M dus au courant de la piste et dus au courant dans la masse ne seront pas tout à fait égaux à cause de cette  différence de distance.  Mais  lorsqu'on s'éloigne de la piste,  les distances deviennent presque égales, et ces  champs, opposés,  deviennent presque égaux . Leur  résultante  devient donc de plus en plus petite: le rayonnement s'estompe.

Champ lointain  :   On a supposé ci-dessus que les champs étaient exactement opposés.  Mais cet  écart des distances  donne aussi un déphasage , qui sera d’autant plus grand que la longueur d’onde est courte. Donc  les champs dus au courant dans la piste et dus au courant dans la masse ne s’annuleront pas tout à fait,  car ils ne seront plus parfaitement opposés ....Ce déphasage persistera  même si on s'éloigne. Donc aux fréquences élevées, le rayonnement de la piste  va décroître moins vite qu'au fréquences basses ; On dit que la piste rayonne un champ électromagnétique..

Nous avons raisonné avec les courants ( champs magnétiques) mais le raisonnement sera le même avec les tensions ( champs électriques) ...

Donc , c’est un principe fondamental, pour réduire le rayonnement d’une piste il faut que les courants « aller » ( dans la piste) et « retour » ( dans la masse) soient les plus rapprochés possible….Et cela d’autant plus que la fréquence est élevée….

D’où la catastrophe d’une fente dans le plan de masse : Il est important de ne pas couper la masse sous la piste. En effet, Si on coupe la masse, le courant sous la piste va devoir s’éloigner de la piste pour reboucler son circuit. La piste devient alors une antenne !! Nous verrons d'ailleurs que pour réaliser une antenne, il faut par tous les moyens  éloigner le courant dans un conducteur du courant opposé  créé dans la masse...

Couplage à une autre piste : Si une autre piste passe à proximité, elle va être le siège de courants et de tensions induits. Cela d’autant plus que les pistes sont proches. Les règles d’implantation insistent en général bien sur ce point….

Rayonnement du câble coaxial – Courant de gaine ;

Le câble coaxial rayonne en principe très peu, et pour cela il est largement utilisé… Il passe un courant sur le conducteur intérieur, l’âme du câble. Mais il passe aussi le courant image  à la surface intérieure du blindage , qui est égal au courant de l’âme, mais de sens opposé. Cela peut surprendre, mais ce courant n’a  pas d’effet à l’extérieur du câble.

Ce courant intérieur n'est pas influencé par le monde extérieur au câble, quoi qu'on fasse au câble: l'enrouler, l'entourer de ferrite, etc....

Mais en réalité, le blindage d’un câble n’est jamais parfait, et un faible courant extérieur dit « courant de gaine « ou « de mode commun » peut circuler sur la surface extérieure. Il sera gênant si on veut des isolations très importantes... si on veut par exemple une isolation entre deux câbles supérieure à 100 dB… 

Ce  courant de gaine pourra aussi  apparaître si le câble coaxial est connecté à une antenne symétrique. Nous aurons alors un courant à la surface extérieure du câble.

Un courant de gaine peut aussi apparaître quand on connecte une ligne imprimée à un câble coaxial , si la connexion de masse n’est pas très courte. La masse d’un connecteur doit donc être  mise à la masse de la carte au plus court . Il arrive parfois que la sortie RF d’une carte doive être soudée à un câble coaxial . Il faut connecter la masse du câble à la masse de la carte, le plus près possible sous la piste , afin que le courant de masse ne fasse pas de détour et s’éloigne de la piste … La tresse de masse du câble devra être la plus courte . La figure ci-dessous  montre ce qu’il ne faut pas faire, une connexion de masse trop longue !

Blocage du courant de gaine : Certaines mesures exigent que le rayonnement d’un câble soit réduit au maximum. On peut réduire le courant de gaine en enfilant un tube de ferrite sur le câble.

Ce tube présentera une impédance grande au courant de gaine, mais ne sera pas « vu » par les courants intérieurs. 

Ruptures d'impédance :

Il peut arriver que localement, on ne respecte pas l'impédance caractéristique.

Par exemple, une capacité supplémentaire peut être involontairement introduite en parallèle sur la ligne : On veillera à ce qu'aucune autre masse ne soit présente très près de la piste , sinon la capacité entre la piste et la masse sera trop grande. On se méfiera par exemple des pastilles , ou des connecteurs en bout de cette piste, si la masse du connecteur est côté piste....

Il est parfois nécessaire de réduire localement la largeur de la piste..... Il manquera donc là un peu de capacité. Mais si la longueur de la piste ainsi amincie est inférieure à 1% de lambda, l'abaque de Smith montre que la perturbation est négligeable.

Le chapitre 8 ( Routage et CEM des cartes radio) donne des exemples d'erreurs d'implantation. 

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Les lignes peuvent être utilisées pour d'autres fonctions que le transport d'un signal: 

Les stubs :

De courts tronçons de lignes, placés en parallèle sur une ligne principale peuvent se comporter comme des  capacités ou des inductances  en parallèle sur cette ligne, à la fréquence considérée, et permettent de réaliser des transformation d’impédance.

Pour connaître la valeur de la capacité ou de la self présentée par un tel "stub" , on utilise l'abaque de Smith.  Par exemple, un stub de longueur  inférieure à un quart d'onde, et ouvert à son extrémité est vu  comme un condensateur,

Exemple :

Ci- contre une adaptation « simple stub » qui transforme 15 ohms en 50 ohms grâce à un stub de longueur L2 placé à la distance L1 de la résistance de 15 ohms. Toutes les lignes ont Zc = 50 ohms .

Nous raisonnons sur l'abaque de Smith normalisé à 50 ohms ci-dessous:

Traçons d'abord le  cercle orange, symétrique par rapport au centre, du cercle R = 1.

.On part de R =15 ohms , soit une impédance réduite r = 15/50 = 0,3

On place donc le point A ( r= 0,3) sur l’abaque 

Pour arriver au point B sur le cercle orange , on voit qu'il faut tourner de 0,08 lambdaG autour du centre.

Maintenant, on veut rajouter quelque chose en parallèle, donc il faut "passer en admittance" ,    Pour cela, on prend  le point symétrique  de B 

-->   point C

Pour arriver au centre, d’admittance 1 , on doit donc  rajouter une admittance de +1,3j 

On "repasse ensuite  en impédance", mais le point est déjà au centre, donc on reste là....L'impédance  sera aussi de 1, c'est-à-dire 50 ohms, c'est ce qu’on voulait.

Maintenant, comment créer une admittance de +1,3 j à l’aide du stub L2? 

( une admittance positive imaginaire,  c’est une capacité....)

On part de l’extrémité ouverte du stub, donc on part d'une admittance nulle : point D de l'abaque en mode admittance.

  Pour atteindre le point E d’admittance 1,3 j ,  il  faut tourner de 0,145 lambdaG

Résultats : 

L1 = 0,08 lambdaG et L2 = 0,145 lambdaG.

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Remarque, pour définir ce stub L2 , si vous voulez rester à vous balader  sur l'abaque en "mode impédance" : 

Vous partez d'une impédance infinie ( il est ouvert au bout) , et vous tournez jusqu'au point d'admittance 1,3 j, donc d'impédance  z = 1/1,3j = -0,77j . 

Pour y arriver , vous avez tourné de ( graduation extérieure)

0,395 - 0,25 lambdaG = 0,145 lambdaG

Nous n'avons pas encore parlé de fréquence ....

Supposons que nous soyons sur époxy 8/10, et à F = 1,5 GHz :

Largeur de la piste : 

Pour Zc= 50 ohms, w/h = 1,85 donc

w = 1,85x h = 1,85 . 0,8 = 1,5 mm

Longueur du stub L2 :

Longueur d’onde dans le vide Lambda= C/F = 20 cm.

Coefficient de vélocité d’une ligne époxy 50 ohms : k = 0,55

Donc lambdaG = 20 cm x 0,55 = 11cm

L2 = 0,145 lambdaG = 16 mm

L1 = 0,08 lambdaG = 8 mm 

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Les lignes résonantes

Une  longueur de ligne de transmission peut être utilisée comme résonateur, et se comportera de façon analogue à un circui LC .Rappelons que lambdaG est égale à Lambda dans le vide multiplié par le coefficient de vélocité k de la ligne considérée.

Ligne demi-onde fermée :  une longueur D de piste à la masse aux deux extrémités  constitue  un résonateur à (lambda G) /2. Le point chaud est au centre.

Ligne quart d'onde: Une ligne à la masse à une extrémité et ouverte à l'autre constitue un résonateur (lambdaG)/4. . Le point chaud sera situé coté ouvert, bien sur….

Ligne demi-onde ouverte: une ligne ouverte aux deux extrémités constitue   aussi un résonateur à (lambda G) /2. Il y a un point chaud aux extrémités, et un ventre de courant au centre.

Résonateurs couplés : 

On peut évidemment réaliser des filtres de bande en couplant correctement des lignes résonantes. ( demi-onde ou quart d'onde) . Les règles sont les mêmes que pour les circuits LC couplés, par exemple apparition d'un creux dans la bande passante sur le couplage entre résonateur est trop important.....( voir le chapitre  5 "couplage de circuits résonant")

La photo ci-dessous  montre un filtre en bande X constitué de deux résonateurs demi-onde couplés.-----------

A noter :

- Le sens du couplage entre les lignes d'entrée et le résonateur est tel que les extrémités en l'air soient opposées, sinon le couplage en champ E et le couplage en champ H se contrarient.

- Même chose pour le sens des lignes, il faut qu'elles soient "tête-bêche" pour que le couplage en champ E et le couplage en champ H s'additionnent.

Lors de la mise au point d'un tel filtre à deux résonateurs couplés, on déterminera , dans l'ordre :

- La distance entre les lignes de couplage d'entrée / sortie et les résonateurs, qui donne  le Qc des résonateurs.

- La distance entre les deux résonateurs, qui donne le couplage,    donc la forme de la courbe de réponse: couplage critique , surcouplage, et... Le couplage entre lignes dépend non seulement de la distance entre elles, mais aussi de la distance à la masse ( épaisseur du substrat) ... Comme le couplage dépend de plusieurs paramètres, il est commode de simuler de tels filtres par un logiciel électromagnétique 3D. 

Modifier la fréquence d'un résonateur à lignes.

Très souvent, pour les résonateurs à Q élevé, il est délicat de tomber très exactement sur la fréquence désirée...On pourra modifier légèrement la fréquence de résonance de plusieurs façons, notamment  :

- On augmente la fréquence en enlevant un peu de cuivre  sur le point chaud, c'est à dire sur les extrémités libres. ( on diminue la capacité en ce point) 

- On diminue la fréquence en réalisant une fente qui "pince" la ligne sur un ventre de courant, c'est à dire au centre de la ligne.  ( on augmente l'inductance en ce point) ou bien en collant   un peu de cuivre sur les points chauds.

Résonateur quart d'onde raccourci.

Ce résonateur est constitué d'une ligne quart d'onde dont une extrémité est à la masse, et l'autre extrémité "ouverte". On peut réduire encore la longueur en plaçant une capacité terminale. Par exemple, pour réduire la longueur de moitié, ( donc lambda/8) avec une ligne d'impédance caractéristique 50 ohms, il faudra une capacité terminale d'impédance -j50 ohms. ( facile à vérifier avec l'abaque de Smith) .

En général, on constitue ainsi des résonateurs à Q élevé, donc la capacité doit être suffisamment précise pour être ajustée; 

Coefficient de surtension d'un résonateur à lignes ;

Le coefficient de surtension Qo à vide de ces résonateurs va dépendre des pertes de la ligne utilisée. Ces pertes seront dues :

- Aux pertes diélectrique du substrat .

- A la résistance ohmique de la ligne.

- Au rayonnement, d'autant plus important que la ligne est éloignée de la masse.

Au delà du GHz, l'époxy  possède beaucoup de pertes ( Qo de l'ordre de 50 au mieux...)

Pour avoir un Qo maximum, plutôt que des lignes imprimées, on utilisera des lignes coaxiales avec diélectrique air : On réalise des cavités résonnantes à très fort Q en plaçant un conducteur central dans un cylindre . . La figure ci-dessous  montre la coupe d’une telle cavité dite "TEM". Il existe dans la littérature technique des abaques donnant le meilleur rapport des diamètres pour des pertes minimales. On atteint ainsi des Qo dépassant le  millier....

Comme  on raccourcit la ligne à l'aide d'une capacité terminale, il faudra être très vigilant sur la résistance série de ce condensateur, pour ne pas dégrader le Qo....

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Attention aux résonances parasites sur une carte !! 

---En fait, sur une carte, on peut créer sans le vouloir des résonateurs qui peuvent poser des problèmes. Par exemple, deux condensateurs de découplage qui découplent une piste d'alimentation , et distants d’une distance D, créent un résonateur sur la fréquence pour laquelle D est la demi-onde...Cela peut poser des problèmes sur une carte, que nous aborderons dans le chapitre  " routage et cEM des cartes"..

La ligne transformateur d’impédance.

Soit une ligne quart d’onde d’impédance caractéristique Zc .

Si on charge son extrémité » par une résistance R1, on trouvera à l’autre extrémité de la ligne quart d'onde une résistance R2 telles que      R1 . R2 = carré de Zc.

Par exemple, si cette  ligne d’impédance ZC = 75 ohms est chargée par 50 ohms, on trouvera 112 Ohms à l’autre extrémité.

Une ligne quart d'onde ouverte se comportera donc comme un court circuit à son autre extrémité. Une ligne quart d'onde ouverte pourra donc  réaliser un découplage, méthode très utilisée en hyperfréquences.. Bien sur, le découplage ne sera effectif que dans une bande de fréquence.

Cependant, les lignes sont souvent encombrantes pour les fréquences inférieures au GHz..... Pour cette raison, lorsque la place est un paramètre important, on réalisera les transformateurs d'impédances et les filtres  par des composants L et C localisés. ( voir le chapitre dédié à ces transformateurs  "adaptation par circuit LC") 

Lignes utilisées en coupleur , exemple : Le Coupleur de Wilkinson

Voir FIG 36 un coupleur de Wilkinson avec lignes imprimées. Chaque ligne quart d'onde

( lambda G/4) ayant Zc = 75 ohms,   transforme en 100 Ohms le signal de chaque entrée 50 ohms. Les deux lignes de sortie 100 ohms sont mises en parallèle pour retrouver 50 ohms sur la sortie simple.

Le coupleur de Wilkinson est un coupleur « 3dB en phase » .

Si on applique à son entrée simple un signal de puissance P, on retrouvera sur ses deux entrées jumelles un signal P/2 , chacun sous 50 ohms et en phase.

Réciproquement, si on applique sur chaque entrée jumelle un signal, on retrouvera la somme de ces signaux sur son entrée simple.

Attention, ici deux cas possibles :

1er cas : Les deux signaux appliqués sont identiques , (même fréquence et en phase)

Dans ce cas, la sortie simple nous donne la somme des deux puissances, (  puisque la résistance R a la même tension sur ses deux bornes, elle ne dissipe rien) .

Exemples d’applications : Couplage de deux antennes en phase. Les signaux sont identiques, on récupère en réception la somme des signaux de chaque antenne, d’où un gain de « 3dB » , et en émission, on répartit symétriquement la puissance sur les deux antennes.

2ème cas : Les deux signaux appliqués sur les entrées jumelles ont des fréquences différentes :

Dans ce cas, la sortie simple nous donne la somme des deux signaux, mais chacun atténué de 3dB .  Une propriété remarquable, c’est que les deux entrées jumelles « ne se voient pas », le coupleur est caractérisé par sa réjection entre les deux entrées jumelles.

Exemple d’applications :

- Couplage de deux générateurs pour appliquer deux signaux sur un récepteur, sans que les deux générateurs ne se perturbent.

- Couplage de deux émetteurs sur la même antenne. Mais le prix à payer, c’est une perte de 3 dB pour chaque émetteur. La puissance perdue est dissipée dans la résistance de 100 ohms du coupleur….

remarque1 : on peut remplacer les lignes quart d'onde  par des "pi quart d'onde" plus intéressants pour les fréquences basses. ( voir en fin de ce chapitre) 

remarque2 : Il existe aussi d’autres coupleurs « 3dB » , qui fournissent des signaux non pas en phase, mais en quadrature. ( voir aussi en fin de ce chapitre) 

Coupleurs directifs.

La FIG 37 montre un exemple de coupleur directif : Le signal incident est appliqué sur une charge adaptée. Une partie de la puissance est induite dans la ligne couplée et disponible sur sa sortie ; Ici nous avons deux lignes peu couplées, et la puissance qui sort de la ligne couplée est faible ( par exemple – 20 dB en dessous de la puissance incidente)

Ce type de coupleur permet de réaliser des réflectomètres, en plaçant deux lignes couplées de part et d’autres de la ligne principale, chacun dans un sens. 

En effet, la ligne n’est couplée que pour l’énergie circulant dans un sens donné ( celui des flèches sur la figure, donc qui montre le couplage dans le sens direct)... 

Cette directivité est due au fait que dans un sens, les couplages E et H s'additionnent, dans l'autre ils s'annulent. 

 Mais là aussi, il peut y avoir des fuites : La « directivité » indique dans quelle mesure le signal qui doit être non couplé l’est quand même un peu. Pour une bonne directivité,  il faut que la longueur de couplage entre les lignes soit nettement inférieure au quart d’onde.

Pour avoir des couplages supérieurs à -20 dB, il faudra des lignes couplées plus serrées, par différentes techniques. ( chevauchement : coupleur de Lange) ...) car deux pistes imprimées côte à côte dans le plan de la carte ne suffisent pas…..

Le coupleur 90 degrés, 3 dB 

Une autre application des lignes , ce coupleur possède deux sorties qui donnent chacune la moitié de la puissance appliquée à l'entrée.  La sortie 2 est en retard de 90 degrés par rapport à la sortie 1. 

La fréquence d'utilisation est donnée par la longueur des lignes quart d'onde.

En général, Zo = 50 ohms, donc on a deux  lignes quart d'onde d'impédance caractéristique  70 ohms et  les deux autres 50 ohms.

La quatrième sortie " charge" recevra   une puissance si les  sorties   50ohms ne  sont pas adaptées ....

Remarque :  Autour de sa fréquence de fonctionnement, une ligne quart d'onde d'impédance caractéristique Zc peut être remplacée par un circuit LC en pi   équivalent :  

capacité -jZc à la masse,

self série +jZc , 

puis capacité -jZc à la masse. 

Ce circuit en pi particulier est parfois appelé "pi quart d'onde" et est utilisé pour réduire l'encombrement d'un circuit coupleur 90 degrés, ou d'un coupleur de Wilkinson vu plus haut....