3- Les lignes de transmission

Un problème se pose si on veut transporter un signal RF d'un générateur ( source) jusqu'à une « charge » R ( ou « récepteur ») à une certaine distance.

On reliera alors le générateur à la charge par une "ligne de transmission" .

Si on connecte en bout de cette  ligne une résistance R, la question qui se pose , c'est de savoir quelle impédance sera vue par le générateur à l'autre extrémité. Pour une fois, la nature fait bien les choses..En effet,  si on choisit convenablement les paramètres physiques de la ligne, la ligne reproduira à son extrémité la résistance R qu'on a connectée en bout. Et cela, quelle que soit sa longueur. On dit alors que la ligne a une "impédance caractéristique Zc" égale à R.

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FIG30 _________________________________________________________

La ligne peut être une piste sur une carte, évoluant au dessus d'un plan de masse. 

Si W est sa largeur, si h est sa hauteur au dessus de la masse, pour un isolant donné, le rapport W/h définira l'impédance caractéristique de cette ligne.

Par exemple, si la charge R en bout de la ligne est égale à 50 ohms, la piste ( ligne) , devra avoir "une impédance caractéristique" de 50 ohms. Elle présentera alors cette résistance à son autre extrémité. Pour une carte dont l'isolant est l'époxy, Une impédance caractéristique de 50 ohms est obtenue si w/h = 1,85 , où W est la largeur de la piste, et h l’épaisseur de l’époxy entre piste et plan de masse. 

En dehors des cartes, les lignes de transmission prendront très souvent la forme de « câbles coaxiaux », qui transporteront le signal de la source jusqu’ à la charge .

Presque toujours, les appareils RF des laboratoires présentent des résistances d'entrée et des résistances de sortie de 50 ohms. Pour relier ces appareils entre eux, on doit donc utiliser des câbles coaxiaux d'impédance caractéristique 50 ohms. ( câble RG58) . Ainsi, les équipements verront toujours 50 ohms.

En résumé :

La source « voit » le câble coaxial comme une résistance de 50 ohms, et cela quelle que soit la longueur du câble, si à l'autre extrémité, la charge est résistive et égale à 50 ohms , et si « l’impédance caractéristique » du câble Zc est également de 50 ohms.

On dit que l’on est "adapté", et que les câbles fonctionnent en "ondes progressives".

Ondes stationnaires

Et si ces conditions ne sont pas remplies ? Les ondes stationnaires…

Si le câble "d'impédance caractéristique 50 ohms" est connecté en bout à une charge différente de 50 ohms ,l'impédance que la ligne présentera à son extrémité dépendra alors de sa longueur ; La tension RF ne sera pas la même partout sur la ligne, et le courant non plus. On peut interpréter ce phénomène en considérant le signal le long de la ligne comme une "onde". 

Si la ligne n'est pas chargée à son extrémité par son impédance caractéristique, une partie de l'onde qui arrive sur la charge va être réfléchie et repartir dans l'autre sens. En certains endroits, l'onde réfléchie sera en phase avec l'onde incidente, et en d'autres endroits elle sera en opposition. Prenons un exemple :

Je veux envoyer sur un câble (ZC =50 ohms) qui n'a pas de pertes, un signal RF sinusoïdal de puissance 1 watt. Si le câble est chargé en bout par 50 ohms, alors on a vu qu'il présentait de mon côté une résistance de 50 ohms quelle que soit sa longueur. Je dois donc appliquer une tension de 7 volts, puisque P = Vcarré  /R

Oui, mais voilà... supposons que la  charge en bout du câble soit 150 ohms. Dans ce cas, le tableau plus bas nous dit que 25 % de la puissance qui arrive sur la charge de 150 ohms va être "réfléchie" et va repartir dans l'autre sens.

Si 1 watt correspond à 7 volts, alors 0,25 watt correspond à 3,5 Volts.

A certains endroits du câble, la  tension de l'onde directe et la tension de l'onde réfléchie s'ajoutent : on aura 7 + 3,5 = 10,5 V

A d'autres endroits , elles sont en opposition et se retranchent :

7V - 3,5 V = 3,5 V

Donc il n'y aura pas partout dans le câble la même tension ni le même courant ....On montre que les maxima sont distants de lambda/2, ainsi que les minima.

On appelle ROS ( Rapport d'ondes stationnaires) le rapport entre la tension maximale et la tension minimale . Dans notre exemple, ce sera 10,5 / 3,5 = 3

Remarquez que le ROS est le rapport entre la résistance qu'il y a en bout ( 150 ohms) , et celle qu'il aurait fallu pour être adapté ( 50 Ohms) . Mais pour faire ce rapport, on fait toujours le rapport entre la plus grande et la plus petite, de façon que le rapport soit supérieur à 1.

Voici un tableau indiquant quelques valeurs à connaître, pour un câble 50 ohms:

Résistance de charge      puissance réfléchie         ROS

50 Ohms                                          0%                        1

100 Ohms ou 25 Ohms                      11 %                        2

150 Ohms ou 16,5 Ohms                  25 %                       3

0 Ohms ou l'infini                           100%                    Infini

Bien sur, l'idéal c'est d'avoir une onde progressive , soit un ROS de 1: Toute la puissance que fournit le câble est absorbée par la charge....

Des appareils très courants, les ROS mètres ou réflectomètres, permettent de mesurer la puissance directe et la puissance réfléchie en un endroit du câble...

Pertes d’un câble

Comme rien n'est parfait en ce monde, un câble coaxial introduit des pertes, par effet joule, par pertes diélectriques, etc..

Le constructeur du câble donne ces pertes , fonctions de la fréquence.

Ainsi, à 100 MHz, un câble RG58 ( le plus courant, qu'on trouve partout dans les labos) présentera par exemple 15 dB de pertes pour 100 mètres. Si on a 20 mètres de câble, on aura 3dB de pertes ( Vu ? les pertes en dB sont proportionnelles à la longueur...)

Donc si j'applique un watt à ce câble, il n'arrivera que 0,5 W, la moitié de la puissance, à l'extrémité ( -3dB)

Remarquez le piège: Supposons que ma charge soit une antenne, mais, manque de chance, celle -ci est coupée ( Z = l'infini) ....Toute la puissance sera réfléchie et repartira vers la source. Mais en parcourant le câble, la puissance qui revient sera à nouveau divisée par deux. Donc côté source, j'enverrai 1 watt, et je ne verrai revenir que 0,25 W. Je pourrai croire que mon antenne n'est pas si mauvaise que cela, alors qu'en fait elle est coupée !!  

Conséquence: Si on veut mesurer le taux de puissance réfléchie par une antenne, il faudra tenir compte des pertes dans le câble, si ces pertes ne sont pas négligeables... 

Réaliser une ligne d’impédance caractéristique donnée sur le circuit imprimé ;

Je veux réaliser une ligne d'impédance caractéristique donnée, sur mon circuit imprimé...Cette piste doit être impérativement au dessus du plan de masse, et celui-ci sans coupure.

Si W est la largeur de la ligne, et si h est la hauteur au dessus de la masse ( h est donc l'épaisseur de l'isolant) , des courbes qu'on trouve facilement donnent l'impédance caractéristique fonction de W/H, pour un substrat donné.

Par exemple, pour un isolant époxy, on a les valeurs suivantes :

W/h                 0,3                     0,5                0,7                1                   2                  4

Zc ( en ohms)   100                     85                 75               65                 48                30 

Impédance présentée par la ligne

Comment trouver l'impédance présentée par la ligne , si l'extrémité n'est pas chargée par l'impédance caractéristique?

Nous allons voir d'abord deux cas particuliers importants :

La ligne "demi-onde" :

Une ligne demi-onde répète à son extrémité l'impédance qu'on lui placée à l'autre extrémité. En d'autres termes, la ligne demi-onde ne change pas l'impédance ...

Mais c'est quoi, une ligne demi-onde? Vous allez dire, facile... connaissant la fréquence, je calcule la longueur d'onde lambda = C / F... Ainsi, avec F = 300 MHz, j'aurai lambda = 1 mètre.

Oui, mais voilà, ceci n'est vrai que si l'isolant de la ligne est du vide ou de l'air. Or, la plupart du temps, l'isolant d'un câble, ou l'isolant d'une piste, ce n'est pas de l'air, et il faudra appliquer le coefficient de vélocité ...

Le coefficient de vélocité : 

Il faut alors multiplier la longueur d'onde dans le vide ( calculée plus haut) par un coefficient k de "vélocité". On obtiendra ainsi la longueur d'onde dans la ligne , notée "lambda G".

Pour un câble RG58 dont l'isolant est du polyéthylène, k = 0,66.

Pour un isolant téflon, k = 0,7

Pour une ligne imprimée sur époxy, k est de l’ordre de 0,5 .

Donc, finalement, quelle sera la longueur d'une ligne demi-onde à 300 MHz, pour du câble RG58 ? Ce sera la demi-onde dans le vide : 0,5 m mais multiplié par 0,66, donc 33 cm.

La ligne "quart d'onde" :

Si la longueur de la ligne est égale à un quart d'onde, alors la ligne "inverse" l'impédance: si il y a un court circuit à l'extrémité, ou trouve un circuit ouvert à l'autre extrémité. Et inversement, si elle est ouverte, on trouve un court circuit à l'autre bout.

D'un façon générale, soit une ligne quart d'onde d'impédance caractéristique ZC. Si on place une résistance R1 en bout, on trouve une résistance R2 à l'autre bout, telles que 

R1. R2 = carré de Zc .  Bien sur, là aussi il faudra tenir compte du coefficient de vélocité k.....

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Et si la longueur de ma ligne est quelconque ?

Il est possible, grâce à l'abaque de Smith, de connaître l'impédance qu'on trouve à l'extrémité d'une ligne de longueur L , connaissant l'impédance caractéristique de cette ligne, et l'impédance qui se trouve connectée à son autre extrémité.

Par exemple, que trouve-t-on à l'extrémité d'une ligne, si son autre extrémité est en l'air ?

Si sa longueur est très inférieure au quart d'onde, on trouvera une capacité.  Si on augmente sa longueur, cette capacité va croître jusqu'à devenir un court -circuit quand la longueur est égale au quart d'onde.....

Et si l'extrémité est un court circuit ? Tant que sa longueur est très petite, on trouvera une self. Si on augmente sa longueur, l'inductance équivalente va augmenter, jusqu'à devenir une impédance infinie pour une longueur d' un quart d'onde. 

Les lignes, qui sont sur une carte des pistes courant parallèlement à un plan de masse, peuvent être utilisées pour adapter, pour réaliser des selfs ou des capacités, pour réaliser des éléments résonants. 

  Les cours sont en général assez complets en ce qui concerne l'abaque de Smith pour que ne nous y étendions pas…

Exemple sur l'abaque de Smith

Trouver l'impédance présentée par une ligne, connaissant l'impédance présente à l'autre extrémité.

Le constructeur donne l’impédance d’entrée d’un circuit intégré : Z = 100 – j 60 ohms. Sur une carte epoxy, une piste de longueur 35 mm arrive sur ce circuit. Cette piste a une largeur de 1,5 mm, et est à la distance de 0, 8 mm du plan de masse. Quelle impédance trouve-t-on à l’extrémité de cette piste, à F = 1 Ghz ?

1-On a donc W /h = 1,5 /0,8 = 1,87 Pour ce rapport, l’impédance caractéristique est Zc = 50 ohms.

2-On calcule la longueur d’onde dans le vide "lambda zéro" = C/F = 30 cm .

En tenant compte du facteur k de l’époxy, la longueur d’onde sur la ligne est

  "lambda G" =  0,5 . 30 cm = 15 cm = 150mm.

3- On prend "lambda G » comme unité :  cette piste mesure donc  :

35mm /150mm = 0,23 fois « lambda G »

4- On prend l'impédance caractéristique comme unité: l'impédance "réduite" est donc :

z = 100 /50 - j 60/50 = 2 – 1,2 j

5- Sur l’abaque : A partir du point A : 2- 1,2 j , on tourne de 0,23 fois « lambdaG » dans le sens des aiguilles d’une montre . Pour cela, on peut s’aider du cercle gradué extérieur de l’abaque, sachant que 1 tour complet correspond à « lambda G »/2 .

5-On obtient ainsi le point B : on lit l'impédance réduite  z= 0,35 + 0,1 j . On en déduit l’impédance en ohms à l’extrémité de cette piste , en multipliant par 50 :

0,35 . 50 + j 0,1 . 50 = 17,5 Ohms + j 5 ohms

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Le rayonnement d’une piste :

Il passe dans la masse, sous la piste, le même courant que dans la piste, mais de sens opposé. Ces deux courants sont normalement très proches, et induisent donc dans l’espace loin de la piste des champs opposés. Pour cette raison, la piste rayonne très peu dès qu’on s’en éloigne.

Champ proche : Un point M de l’espace proche de la piste ne sera pas tout à fait à la même distance du courant de la piste et du courant dans la masse. Donc  les  champs en M dus au courant de la piste et dus au courant dans la masse ne seront pas tout à fait égaux à cause de cette  différence de distance.  Mais  lorsqu'on s'éloigne de la piste,  les distances deviennent presque égales, et ces  champs, opposés,  deviennent presque égaux . Leur  résultante  devient donc de plus en plus petite.

Champ lointain  :   On a supposé ci-dessus que les champs étaient exactement opposés.  Mais cet  écart des distances  donne aussi un déphasage , qui sera d’autant plus grand que la longueur d’onde est courte. Donc  les champs dus au courant dans la piste et dus au courant dans la masse ne s’annuleront pas tout à fait,  car ils ne seront plus parfaitement oposés ....Ce déphasage persistera  même si on s'éloigne. Donc aux fréquences élevées, le rayonnement de la piste  va décroître moins vite qu'au fréquences basses ; On dit que la piste rayonne un champ électromagnétique..

Nous avons raisonné avec les courants ( champs magnétiques) mais le raisonnement sera le même avec les tensions ( champs électriques) ...

Donc , c’est un principe fondamental, pour réduire le rayonnement d’une piste il faut que les courants « aller » ( dans la piste) et « retour » ( dans la masse) soient les plus rapprochés possible….Et cela d’autant plus que la fréquence est élevée….

D’où la catastrophe d’une fente dans le plan de masse : Il est important de ne pas couper la masse sous la piste. En effet, Si on coupe la masse, le courant sous la piste va devoir s’éloigner de la piste pour reboucler son circuit. La piste devient alors une antenne !! Nous verrons d'ailleurs que pour réaliser une antenne, il faut par tous les moyens  éloigner le courant dans un conducteur du courant opposé  créé dans la masse...

Couplage à une autre piste : Si une autre piste passe à proximité, elle va être le siège de courants et de tensions induits. Cela d’autant plus que les pistes sont proches. Les règles d’implantation insistent en général bien sur ce point….

Rayonnement du câble coaxial – Courant de gaine ;

Le câble coaxial rayonne en principe très peu, et pour cela il est largement utilisé… Il passe un courant sur le conducteur intérieur, l’âme du câble. Mais il passe aussi un courant à la surface intérieure du blindage , qui est égal au courant de l’âme, mais de sens opposé. Cela peut surprendre, mais ce courant n’a  pas d’effet à l’extérieur du câble.

En réalité, le blindage d’un câble n’est jamais parfait, et un faible courant extérieur dit « courant de gaine « ou « de mode commun » peut circuler sur la surface extérieure. Il sera gênant si on veut des isolations très importantes... si on veut par exemple une isolation entre deux câbles supérieure à 100 dB… 

Un courant de gaine pourra aussi  apparaître si le câble coaxial est connecté à une antenne symétrique. Nous aurons alors un courant à la surface extérieure du câble.

Un courant de gaine peut aussi apparaître quand on connecte une ligne imprimée à un câble coaxial , si la connexion de masse n’est pas très courte. La masse d’un connecteur doit donc être  mise à la masse de la carte au plus court . Il arrive parfois que la sortie RF d’une carte doive être soudée à un câble coaxial . On connecte alors la masse du câble à la masse de la carte, le plus près possible sous la piste , afin que le courant de masse ne fasse pas de détour et s’éloigne de la piste … La tresse de masse du câble devra être la plus courte . La figure 33 montre ce qu’il ne faut pas faire, une connexion de masse trop longue !

Blocage du courant de gaine : Certaines mesures exigent que le rayonnement d’un câble soit réduit au maximum. On peut réduire le courant de gaine en enfilant un tube de ferrite sur le câble.

Ce tube présentera une impédance grande au courant de gaine, mais ne sera pas « vu » par les courants intérieurs. On bloque au maximum le courant de gaine en disposant deux tubes de ferrite distants d’un quart d’onde… 

Les lignes résonantes

Une  longueur de ligne de transmission peut être utilisée comme résonateur, et se comportera de façon analogue à un circui LC .Rappelons que lambdaG est égale à Lambda dans le vide multiplié par le coefficient de vélocité k de la ligne considérée.

Ligne demi-onde fermée :  une longueur D de piste à la masse aux deux extrémités  constitue  un résonateur à (lambda G) /2. Le point chaud est au centre.

Ligne quart d'onde: Une ligne à la masse à une extrémité et ouverte à l'autre constitue un résonateur (lambdaG)/4. . Le point chaud sera situé coté ouvert, bien sur….

Ligne demi-onde ouverte: une ligne ouverte aux deux extrémités constitue   aussi un résonateur à (lambda G) /2. Il y a un point chaud aux extrémités, et un ventre de courant au centre.

Si la longueur d'onde est plus longue, les résonateurs (lignes lambda/2) sont assez encombrants. Une solution consiste à les replier sous forme de U. Ci-dessous un fitre 2,4 GHz, de bande passante quelques MHz, sur un circuit strip-line d'épaisseur 16/10, et d'epsilon 3,4. Le pas est de 1,27 mm , les lignes d'entrée et sortie sont bien sur en 50 Ohms. A noter :

- La distance entre chaque U détermine le couplage entre les deux lignes,

- La distance entre les lignes de couplage et les résonateurs détermine le Q de chaque résonateur.

- Le sens du couplage entre les lignes d'entrée et le résonateur est tel que les extrémités en l'air soient opposées, sinon le couplage en champ E et le couplage en champ H se contrarient.

- Même chose pour le sens des lignes, il faut qu'elles soient "tête-bêche" pour que le couplage en champ E et le couplage en champ H s'additionnent.

Modifier la fréquence d'un résonateur à lignes.

Très souvent, pour les résonateurs à Q élevé, il est délicat de tomber très exactement sur la fréquence désirée...On pourra modifier légèrement la fréquence de résonance de plusieurs façons, notamment  :

- On augmente la fréquence en enlevant un peu de cuivre  sur le point chaud, c'est à dire sur les extrémités libres. ( on diminue la capacité en ce point) 

- On diminue la fréquence en réalisant une fente qui "pince" la ligne sur un ventre de courant, c'est à dire au centre de la ligne.  ( on augmente l'inductance en ce point) ou bien en ajoutant  un peu de cuivre sur les points chauds.

Coefficient de surtension d'un résonateur à lignes ;

Le coefficient de surtension Qo à vide de ces résonateurs va dépendre des pertes de la ligne utilisée. Ces pertes seront dues :

- Aux pertes diélectrique du substrat .

- A la résistance ohmique de la ligne.

- Au rayonnement, d'autant plus important que la ligne est éloignée de la masse.

Pour avoir un Qo maximum, plutôt que des lignes imprimées, on utilisera des lignes coaxiales avec diélectrique air : On réalise des cavités résonnantes à très fort Q en plaçant un conducteur central dans un cylindre . . La figure ci-dessous  montre la coupe d’une telle cavité dite "TEM". Il existe dans la littérature technique des abaques donnant le meilleur rapport des diamètres pour des pertes minimales. On atteint ainsi des Qo de l'ordre du millier....

Si on raccourcit la ligne à l'aide d'une capacité terminale, il faudra être très vigilant sur la résistance série de ce condensateur, pour ne pas dégrader le Qo....

Attention aux résonances parasites sur une carte !! 

---En fait, sur une carte, on peut créer sans le vouloir des résonateurs qui peuvent poser des problèmes. Par exemple, deux condensateurs de découplage qui découplent une piste d'alimentation , et distants d’une distance D, créent un résonateur sur la fréquence pour laquelle D est la demi-onde...Cela peut poser des problèmes sur une carte, que nous aborderons dans le chapitre  " routage et cEM des cartes"..

Transformateur d’impédance.

Soit une ligne quart d’onde d’impédance caractéristique Zc .

Si on charge son extrémité » par une résistance R1, on trouvera à l’autre extrémité de la ligne quart d'onde une résistance R2 telles que      R1 . R2 = carré de Zc.

Par exemple, si cette  ligne d’impédance ZC = 75 ohms est chargée par 50 ohms, on trouvera 100 Ohms à l’autre extrémité.

Une ligne quart d'onde ouverte se comportera donc comme un court circuit à son autre extrémité. Une ligne quart d'onde ouverte pourra donc  réaliser un découplage, méthode très utilisée en hyperfréquences.. Bien sur, le découplage ne sera effectif que dans une bande de fréquence.

Un tronçon de ligne inférieur au quart d'onde placé en parallèle sera équivalent à un condensateur.

Autres transformateurs : Des tronçons de lignes « stubs » peuvent aussi servir à adapter deux impédances. .. Les cours sur les abaques de Smith donnent de nombreux exemples, aussi nous ne nous y attarderons pas.

Cependant, les lignes sont souvent encombrantes. Pour cette raison, lorsque la place est un paramètre important, on réalisera les transformateurs d'impédances et les filtres  par des composants localisés. ( voir le chapitre dédié à ces transformateurs  "adaptation par circuit LC") 

Lignes utilisées en couplage , exemple : Le Coupleur de Wilkinson

Voir FIG 36 un coupleur de Wilkinson avec lignes imprimées. Chaque ligne quart d'onde

( lambda G/4) ayant Zc = 75 ohms,   transforme en 100 Ohms le signal de chaque entrée 50 ohms. Les deux lignes de sortie 100 ohms sont mises en parallèle pour retrouver 50 ohms sur la sortie simple.

Le coupleur de Wilkinson est un coupleur « 3dB en phase » .

Si on applique à son entrée simple un signal de puissance P, on retrouvera sur ses deux entrées jumelles un signal P/2 , chacun sous 50 ohms et en phase. Réciproquement, si on applique sur chaque entrée jumelle un signal, on retrouvera la somme de ces signaux sur son entrée simple.

Attention, ici deux cas possibles :

1er cas : Les deux signaux appliqués sont identiques , (même fréquence et en phase)

Dans ce cas, la sortie simple nous donne la somme des deux puissances, puisque la résistance R a la même tension sur ses deux bornes.

Exemples d’applications : Couplage de deux antennes en phase. Les signaux sont identiques, on récupère en réception la somme des signaux de chaque antenne, d’où un gain de « 3dB » , et en émission, on répartit symétriquement la puissance sur les deux antennes.

2ème cas : Les deux signaux appliqués sur les entrées jumelles ont des fréquences différentes :

Dans ce cas, la sortie simple nous donne la somme des deux signaux, mais chacun atténué de 3dB .  Une propriété remarquable, c’est que les deux entrées jumelles « ne se voient pas », le coupleur est caractérisé par sa réjection entre les deux entrées jumelles.

Exemple d’applications :

- Couplage de deux générateurs pour appliquer deux signaux sur un récepteur, sans que les deux générateurs ne se perturbent.

- Couplage de deux émetteurs sur la même antenne. Mais le prix à payer, c’est une perte de 3 dB pour chaque émetteur. La puissance perdue est dissipée dans la résistance de 100 ohms du coupleur….

Il existe aussi d’autres coupleurs « 3dB » , qui fournissent des signaux en quadrature. 

Coupleurs directifs.

La FIG 37 montre un exemple de coupleur directif : Le signal incident est appliqué sur une charge adaptée. Une partie de la puissance est induite dans la ligne couplée et disponible sur sa sortie ; Ici nous avons deux lignes peu couplées, et la puissance qui sort de la ligne couplée est faible ( par exemple – 20 dB en dessous de la puissance incidente)

Ce type de coupleur permet de réaliser des réflectomètres, en plaçant deux lignes couplées de part et d’autres de la ligne principale, chacun dans un sens. 

En effet, la ligne n’est couplée que pour l’énergie circulant dans un sens donné ( celui des flèches sur la figure)... Cette directivité est due au fait que dans un sens, les couplages E et H s'additionnent, dans l'autre ils s'annulent. 

 Mais là aussi, il peut y avoir des fuites : La « directivité » indique dans quelle mesure le signal qui doit être non couplé l’est quand même un peu. Pour une bonne directivité, il faut que la longueur de couplage entre les lignes soit nettement inférieure au quart d’onde.

Pour avoir des couplages supérieurs à -20 dB, il faudra des lignes couplées plus serrées, par différentes techniques. Deux pistes imprimées côte à côte dans le plan de la carte ne suffisent pas…..